アルファ・ベータ表示からガンマ行列へ

場の量子論入門　第4部 第1章 §4.1.1　★★★ 最初の一歩：4本の $\gamma$ にまとめると Lorentz 対称性が目に見える

『量子力学入門』第13部で構成した Dirac 方程式は、自然単位 $\hbar=c=1$ で

$$\mathrm{i}\frac{\partial\psi}{\partial t}=\bigl(-\mathrm{i}\,\bm{\alpha}\cdot\nabla+\beta m\bigr)\psi, \qquad \left\{\alpha^i,\,\alpha^j\right\}=2\delta^{ij},\quad \left\{\alpha^i,\,\beta\right\}=0,\quad \beta^2=1\tag{4.1.1}$$

という形だった。この書き方には不満がある。時間微分だけが左辺に隔離されていて、時間と空間が対等に見えないことである。Lorentz 変換は時間と空間を混ぜるのだから、方程式の形から対称性が読めるようにしたい。

手続きは単純で、式(4.1.1)の両辺に左から $\beta$ を掛け、全部を左辺に集める。$\beta^2=1$ を使うと

$$\mathrm{i}\beta\,\partial_0\psi+\mathrm{i}\beta\alpha^i\,\partial_i\psi-m\psi=0$$

となる（$\partial_0=\partial/\partial t$、$\partial_i=\partial/\partial x^i$、$\nabla$ の成分は $\partial_i$ で、$-\mathrm{i}\bm{\alpha}\cdot\nabla$ の項が $\mathrm{i}\beta\alpha^i\partial_i$ に化けている）。そこで4つの行列を

$$\gamma^0\equiv\beta,\qquad \gamma^i\equiv\beta\alpha^i\quad(i=1,2,3) \qquad\text{すなわち}\quad \gamma^\mu=(\beta,\ \beta\bm{\alpha})\tag{4.1.2}$$

と定義すれば、方程式は

$$\bigl(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_{\mu}-m\bigr)\psi=0 \qquad\text{略記して}\qquad \bigl(\mathrm{i}\not{\partial}-m\bigr)\psi=0\tag{4.1.3}$$

と書ける。ここで任意の4元ベクトル $a^\mu$ に対するFeynman スラッシュ$\not{a}\equiv\gamma^\mu a_\mu=\gamma^\mu\eta_{\mu\nu}a^\nu$ を導入した（$\not{\partial}=\gamma^\mu\partial_{\mu}$）。式(4.1.3)がDirac 方程式の共変形式である。時間微分と空間微分が $\gamma^\mu\partial_{\mu}$ という1つの縮約に収まり、添字 $\mu$ の付き方だけを見てLorentz 変換性を議論できるようになった。

$\gamma$ 行列の満たす代数

式(4.1.1)の $\bm{\alpha},\beta$ の代数を、定義(4.1.2)を通して $\gamma^\mu$ の言葉に翻訳する。まず $\gamma^0\gamma^0=\beta^2=1=\eta^{00}\cdot1$。次に

$$\left\{\gamma^0,\,\gamma^i\right\}=\beta(\beta\alpha^i)+(\beta\alpha^i)\beta =\alpha^i+\beta\alpha^i\beta =\alpha^i-\beta^2\alpha^i=0$$

（$\left\{\alpha^i,\,\beta\right\}=0$ より $\alpha^i\beta=-\beta\alpha^i$ を使った）。最後に

$$\left\{\gamma^i,\,\gamma^j\right\}=\beta\alpha^i\beta\alpha^j+\beta\alpha^j\beta\alpha^i =-\beta^2\bigl(\alpha^i\alpha^j+\alpha^j\alpha^i\bigr)=-2\delta^{ij}=2\eta^{ij}.$$

3つをまとめると、$\gamma$ 行列は次の1本の関係式に集約される。

この1本がこの部の全計算の土台である。以後の $\gamma$ 行列の計算は、具体的な行列成分を書き下すことなく、定理4.1.1だけを繰り返し使って進む。「$\gamma$ を隣どうし入れ替えると符号が変わり、同じ添字どうしなら $2\eta^{\mu\nu}$ という数が残る」という書き換え規則だと思えばよい。

随伴スピノルと Lagrangian

Dirac 方程式の Hermite 共役を取ると $\psi^\dagger$ の方程式が出るが、そこには $\gamma^{\mu\dagger}$ が現れる。$\gamma^0=\beta$ は Hermite、$\gamma^i=\beta\alpha^i$ は反 Hermite（$(\beta\alpha^i)^\dagger=\alpha^i\beta=-\beta\alpha^i$）なので、4本の $\gamma$ は Hermite 性を揃えていない。この不揃いは、1本の式

$$\gamma^{\mu\dagger}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0\tag{4.1.4}$$

にまとめられる（$\mu=0$ なら $\gamma^0\gamma^0\gamma^0=\gamma^0$、$\mu=i$ なら定理4.1.1の $\left\{\gamma^0,\,\gamma^i\right\}=0$ から $\gamma^0\gamma^i\gamma^0=-\gamma^i$）。そこで $\psi^\dagger$ ではなく

$$\bar\psi \equiv\psi^\dagger\gamma^0 \qquad(\text{\textbf{随伴スピノル}，Dirac 共役})$$

を使うと式が整う。$\bar\psi$ を使う理由は、次節で見るように $\bar\psi \psi$ が Lorentz スカラーになる一方$\psi^\dagger\psi$ はならないことにある（$\psi^\dagger\psi$ は4元流れの時間成分であって、スカラーではない）。

Dirac 場の Lagrangian 密度は

$$\mathcal{L}=\bar\psi \bigl(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_{\mu}-m\bigr)\psi\tag{4.1.6}$$

である。$\bar\psi$ を独立な場とみなして Euler–Lagrange 方程式$\partial_{\mu}\bigl(\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_{\mu}\bar\psi )\bigr)-\partial\mathcal{L}/\partial\bar\psi =0$ を立てると、$\mathcal{L}$ が $\partial_{\mu}\bar\psi$ を含まないので、そのまま $(\mathrm{i}\not{\partial}-m)\psi=0$ が出る。$\psi$ について変分すれば $\bar\psi$ の方程式$\mathrm{i}\partial_{\mu}\bar\psi \,\gamma^\mu+m\bar\psi =0$ が得られる。

$\mathcal{L}$ が大域的な位相変換 $\psi\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\psi$（$\theta$ は定数）で不変なので、Noether の定理（第1部 第4章）から保存流

$$j^\mu=\bar\psi \gamma^\mu\psi,\qquad \partial_{\mu} j^\mu=0$$

が出る。実際 $\partial_{\mu} j^\mu=(\partial_{\mu}\bar\psi \gamma^\mu)\psi+\bar\psi (\gamma^\mu\partial_{\mu}\psi) =(\mathrm{i} m\bar\psi )\psi+\bar\psi (-\mathrm{i} m\psi)=0$ である。時間成分は$j^0=\psi^\dagger\psi\ge0$ で、これが Dirac が Klein–Gordon 方程式に対して勝ち取った「正定値の密度」だった。ただし場の理論に上げた後の解釈は変わり、$j^\mu$ は確率流ではなく電荷の流れ（$-e$ を掛けて電流）になる。粒子数が保存しない高エネルギー領域では確率解釈が破綻し、代わりに電荷が保存量として残る、という第2部 第5章の複素スカラー場と同じ筋書きである。