Dirac 代数と表示の選択

場の量子論入門　第4部 第1章 §4.1.2　★★★ 道具：Dirac 表示と Weyl 表示。物理は表示に依らない

定理4.1.1を満たす $4\times4$ 行列の組み方は一通りではない。実際、任意の可逆行列 $U$ に対し $\gamma^\mu\to U\gamma^\mu U^{-1}$ はやはり同じ代数を満たす。逆に、既約な $4\times4$ 表現は互いにこの相似変換で移り合うことが知られている（Pauli の基本定理）。したがってどの表示を使っても物理は変わらない。実務では計算の見通しが良くなる表示を選ぶ。よく使う2つを挙げる。

Dirac 表示（標準表示）

非相対論極限が見やすい表示で、本書の既定である。$2\times2$ ブロックで

$$\gamma^0=\begin{pmatrix}\bm{1}&0\\0&-\bm{1}\end{pmatrix},\qquad \gamma^i=\begin{pmatrix}0&\sigma^i\\-\sigma^i&0\end{pmatrix},\qquad \gamma^5=\begin{pmatrix}0&\bm{1}\\\bm{1}&0\end{pmatrix}\tag{4.1.8}$$

（$\sigma^i$ は Pauli 行列、$\gamma^5\equiv\mathrm{i}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$）。$\gamma^0$ が対角なので、静止した粒子（$\bm{p}=0$）では上2成分と下2成分がきれいに分かれ、上が正エネルギー・下が負エネルギーに対応する。非相対論極限で下2成分が $v/c$ 倍に小さくなる「大成分・小成分」の議論（『量子力学入門』第13部 第3章）は、この表示で行った。

Weyl 表示（カイラル表示）

高エネルギー（質量が無視できる領域）で見やすい表示で、第6章で使う。

$$\gamma^0=\begin{pmatrix}0&\bm{1}\\\bm{1}&0\end{pmatrix},\qquad \gamma^i=\begin{pmatrix}0&\sigma^i\\-\sigma^i&0\end{pmatrix},\qquad \gamma^5=\begin{pmatrix}-\bm{1}&0\\0&\bm{1}\end{pmatrix}\tag{4.1.9}$$

この表示では $\gamma^5$ が対角なので、上2成分と下2成分がそれぞれ確定したカイラリティ（第6章で定義する）をもつ。質量ゼロなら方程式が2成分ずつに分裂する。この部では、特に断らない限り Dirac 表示を使う。Weyl 表示を使う箇所では「ここでは Weyl 表示」と明記する。

散乱振幅の計算では、どちらの成分表示も使わずに済むことが多い。定理4.1.1とトレース定理（§1.5）だけで振幅の絶対値2乗が計算できてしまうからである。成分を書き下すのは、具体的なスピン状態のスピノルが要るとき（§2.5 のヘリシティ固有スピノルなど）に限るのがよい。