Lorentz 変換とスピノル表現

場の量子論入門　第4部 第1章 §4.1.3　★★ なぜスピン $1/2$ か：回転の生成子が $\bm{\sigma}/2$ を2つ並べた形になる

「$\psi$ はスピン $1/2$ の粒子を表す」と言うとき、その根拠は $\psi$ が Lorentz 群のどの表現に属するかにある。ここではその表現を具体的に作る。

4元ベクトル $x^\mu$ の Lorentz 変換 $x'^\mu=\Lambda^\mu_{\ \nu}x^\nu$ を、微小変換 $\Lambda^\mu_{\ \nu}=\delta^\mu_\nu+\omega^\mu_{\ \nu}$（$\omega_{\mu\nu}=-\omega_{\nu\mu}$ は6個の微小パラメータで、3個が回転角、3個がラピディティ）で考える。場 $\psi$ は、座標の変換に伴って成分が混ざる：

$$\psi(x)\ \longrightarrow\ \psi'(x')=\Lambda_{1/2}\,\psi(x), \qquad \Lambda_{1/2}=\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i}}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}\Bigr).$$

未知なのは $4\times4$ 行列 $S^{\mu\nu}$（$=-S^{\nu\mu}$）である。これが満たすべき条件は、Dirac 方程式が変換後も同じ形をもつこと（共変性）である。

答えを先に書くと、

$$\boxed{\ S^{\mu\nu}=\frac{\mathrm{i}}{4}\left[\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\right]\ }$$

であり、これで条件が満たされる。確認の要は、Dirac 代数だけから従う次の交換関係である。$\gamma^\mu\gamma^\rho=2\eta^{\mu\rho}-\gamma^\rho\gamma^\mu$ を2回使うと$\left[\gamma^\mu,\,\gamma^\rho\gamma^\sigma\right]=2\eta^{\mu\rho}\gamma^\sigma-2\eta^{\mu\sigma}\gamma^\rho$が出るので、

$$\left[\gamma^\mu,\,S^{\rho\sigma}\right]=\frac{\mathrm{i}}{4}\left[\gamma^\mu,\,\left[\gamma^\rho,\,\gamma^\sigma\right]\right] =\mathrm{i}\bigl(\eta^{\mu\rho}\gamma^\sigma-\eta^{\mu\sigma}\gamma^\rho\bigr) =\bigl(J^{\rho\sigma}\bigr)^\mu_{\ \nu}\gamma^\nu\tag{4.1.12}$$

となる。最右辺の $(J^{\rho\sigma})^\mu_{\ \nu}=\mathrm{i}(\eta^{\rho\mu}\delta^\sigma_\nu-\eta^{\sigma\mu}\delta^\rho_\nu)$ は、4元ベクトルに作用する Lorentz 生成子そのものである。式(4.1.12)は「$\gamma^\mu$ はスピノル添字については行列だが、$\mu$ については4元ベクトルとして振る舞う」ことを述べている。これを微小変換に展開して積み上げると

$$\Lambda_{1/2}^{-1}\gamma^\mu\Lambda_{1/2}=\Lambda^\mu_{\ \nu}\gamma^\nu\tag{4.1.13}$$

が得られ、これを $(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_{\mu}-m)\psi=0$ に代入すると、変換後の方程式も同じ形になる。また式(4.1.12)から、$S^{\mu\nu}$ 自身が $J^{\mu\nu}$ と同じ Lorentz 代数の交換関係を満たすことも従う。

回転部分：スピン $1/2$ であることの意味

$S^{\mu\nu}$ の空間成分を Dirac 表示(4.1.8)で計算すると

$$S^{ij}=\frac12\varepsilon^{ijk}\Sigma^k, \qquad \Sigma^k\equiv\begin{pmatrix}\sigma^k&0\\0&\sigma^k\end{pmatrix}\tag{4.1.14}$$

となる。したがって $z$ 軸まわりの角 $\theta$ の回転では$\Lambda_{1/2}=\exp(-\mathrm{i}\theta\Sigma^3/2)$ であり、これは Pauli 行列で書いたスピン $1/2$ の回転演算子（『量子力学入門』第4部 第1章）を2組並べたものに他ならない。$\Sigma^3$ の固有値は $\pm1$ なので、スピン角運動量の $z$ 成分は $\pm1/2$ である。4成分のうち2成分ずつが同じスピンの値を担い、残りの分裂は粒子と反粒子の区別に対応する（第2章で確認する）。

一方、ブースト部分は $S^{0i}=\tfrac{\mathrm{i}}{2}\gamma^0\gamma^i=\tfrac{\mathrm{i}}{2}\alpha^i$ で、$\alpha^i$ が Hermite なので $S^{0i}$ は反 Hermite であり、ブーストに対する $\Lambda_{1/2}$ はユニタリでない。この事実が$\psi^\dagger\psi$ が不変量でない理由であり、代わりに $\bar\psi \psi$ を使う理由である。実際、式(4.1.4)から $\gamma^0S^{\mu\nu\dagger}\gamma^0=S^{\mu\nu}$ が示せ、したがって

$$\gamma^0\Lambda_{1/2}^\dagger\gamma^0=\Lambda_{1/2}^{-1} \quad\Longrightarrow\quad \bar\psi \to\bar\psi \,\Lambda_{1/2}^{-1}\tag{4.1.15}$$

となり、$\bar\psi \psi\to\bar\psi \Lambda_{1/2}^{-1}\Lambda_{1/2}\psi=\bar\psi \psi$（スカラー）、$\bar\psi \gamma^\mu\psi\to\Lambda^\mu_{\ \nu}\bar\psi \gamma^\nu\psi$（式(4.1.13)を使った。4元ベクトル）が言える。