双線形形式とその変換性

場の量子論入門　第4部 第1章 §4.1.4　★★ 道具：$4\times4$ 行列の完全基底16個と、その Lorentz 変換性

$\bar\psi \Gamma\psi$ の形の量を双線形形式と呼ぶ。$\Gamma$ は $4\times4$ 行列で、独立なものは16個ある（$4\times4$ 行列の空間の次元が16）。$\gamma$ 行列の積で16個の基底を作ると、それぞれが確定した Lorentz 変換性をもつ。$\sigma^{\mu\nu}\equiv\tfrac{\mathrm{i}}{2}\left[\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\right]=2S^{\mu\nu}$ と書くと、

「擬スカラー」「軸性ベクトル」とは、回転とブーストの下ではスカラー・ベクトルと同じに振る舞うが、空間反転（パリティ）で符号が逆になるもののことである（第5章で確認する）。$\gamma^5$ が1つ入るたびにパリティの符号が反転する、と覚えればよい。この16個が完全基底をなすので、$\bar\psi \Gamma\psi$ の形の任意の量はこの5種類の重ね合わせで書ける。相互作用を作るときは、この表から Lorentz スカラーになる組み合わせを選ぶ。QED の相互作用 $-e\bar\psi \gamma^\mu\psi\,A_\mu$ はベクトル流とベクトル場の縮約であり、弱い相互作用の $V-A$ 構造は $\bar\psi \gamma^\mu(1-\gamma^5)\psi$ というベクトルと軸性ベクトルの特定の組み合わせである。