トレース定理

(T3) から示す。$\gamma^5=\mathrm{i}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ は $(\gamma^5)^2=1$ と$\left\{\gamma^5,\,\gamma^\mu\right\}=0$ を満たす（第6章で確認する。検算済み）。$n$ 個の積に $1=\gamma^5\gamma^5$ を挿入し、トレースの巡回性で右端の $\gamma^5$ を左端へ回してから、$n$ 個の $\gamma$ をすべてすり抜けさせると

$$\operatorname{Tr}[\gamma^{\mu_1}\cdots\gamma^{\mu_n}] =\operatorname{Tr}[\gamma^5\gamma^{\mu_1}\cdots\gamma^{\mu_n}\gamma^5] =(-1)^n\operatorname{Tr}[\gamma^5\gamma^5\gamma^{\mu_1}\cdots\gamma^{\mu_n}] =(-1)^n\operatorname{Tr}[\gamma^{\mu_1}\cdots\gamma^{\mu_n}].$$

$n$ が奇数なら $\operatorname{Tr}=-\operatorname{Tr}$ となり $\operatorname{Tr}=0$。(T1) は $n=1$ の場合である。

(T2)：$\operatorname{Tr}[\gamma^\mu\gamma^\nu]=\operatorname{Tr}[\gamma^\nu\gamma^\mu]$（巡回性）なので、$\operatorname{Tr}[\gamma^\mu\gamma^\nu]=\tfrac12\operatorname{Tr}[\left\{\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\right\}] =\tfrac12\cdot2\eta^{\mu\nu}\operatorname{Tr}[\bm{1}]=4\eta^{\mu\nu}$。

(T4)：左端の $\gamma^\alpha$ を反交換関係で右へ順に送る。$\gamma^\alpha\gamma^\beta=2\eta^{\alpha\beta}-\gamma^\beta\gamma^\alpha$ を繰り返し使うと

$$\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\gamma\gamma^\delta =2\eta^{\alpha\beta}\gamma^\gamma\gamma^\delta-2\eta^{\alpha\gamma}\gamma^\beta\gamma^\delta +2\eta^{\alpha\delta}\gamma^\beta\gamma^\gamma-\gamma^\beta\gamma^\gamma\gamma^\delta\gamma^\alpha .$$

両辺のトレースを取り、最後の項に巡回性を使うと、それは左辺と同じ $\operatorname{Tr}[\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\gamma\gamma^\delta]$ である。移項して2で割り、(T2) を代入すれば (T4) を得る。