平面波解の構成

場の量子論入門　第4部 第2章 §4.2.1　★★★ 出発点：正振動数解 $u$ と負振動数解 $v$

自由 Dirac 方程式は線形なので、平面波を重ね合わせて一般解を作る。$\psi\propto\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}$（$p\cdot x=p^0x^0-\bm{p}\cdot\bm{x}$）とおくと $\partial_{\mu}\to-\mathrm{i} p_\mu$ なので

$$\bigl(\not{p}-m\bigr)u(p)=0$$

となる。ここで $p^0= E_{\bm{p}}\equiv\sqrt{|\bm{p}|^2+m^2}>0$ を取ったものを正振動数解と呼ぶ。一方 $\psi\propto\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}$（同じく $p^0= E_{\bm{p}}>0$）とおくと

$$\bigl(\not{p}+m\bigr)v(p)=0$$

となり、これを負振動数解と呼ぶ。$\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}$ を「エネルギー $- E_{\bm{p}}$ の解」と読むのが1粒子量子力学の立場（そこから Dirac の海の議論が出た）であるが、場の理論では「エネルギー $+ E_{\bm{p}}$ の反粒子を生成する成分」と読む。第3章でその読み替えを実装する。

解を具体的に作る。Dirac 表示で $\not{p}=p_\mu\gamma^\mu$ を書き下すと

$$\not{p}= E_{\bm{p}}\gamma^0-p^i\gamma^i =\begin{pmatrix} E_{\bm{p}}&-\bm{\sigma}\cdot\bm{p}\\ \bm{\sigma}\cdot\bm{p}&- E_{\bm{p}}\end{pmatrix}$$

である（$p_i=-p^i$ に注意）。$u=(u_A,u_B)^T$ と2成分ずつに分けて $(\not{p}-m)u=0$ を書くと

$$( E_{\bm{p}}-m)\,u_A=(\bm{\sigma}\cdot\bm{p})\,u_B, \qquad (\bm{\sigma}\cdot\bm{p})\,u_A=( E_{\bm{p}}+m)\,u_B\tag{4.2.4}$$

の2本になる。第2式から $u_B=\dfrac{\bm{\sigma}\cdot\bm{p}}{ E_{\bm{p}}+m}u_A$ と決まり、これを第1式に入れると $(\bm{\sigma}\cdot\bm{p})^2=|\bm{p}|^2= E_{\bm{p}}^2-m^2$ より恒等的に成り立つ。つまり独立な自由度は $u_A$（2成分）だけであり、2成分スピノル $\chi$（$\chi^\dagger\chi=1$）を使って

$$\boxed{\ u(p,s)=\begin{pmatrix}\sqrt{ E_{\bm{p}}+m}\ \chi^{(s)}\\[3pt] \dfrac{\bm{\sigma}\cdot\bm{p}}{\sqrt{ E_{\bm{p}}+m}}\ \chi^{(s)}\end{pmatrix}\ } \qquad(s=1,2)\tag{4.2.5}$$

と書ける。前因子 $\sqrt{ E_{\bm{p}}+m}$ は次節の規格化の都合で選んだ。同様に $(\not{p}+m)v=0$ からは

$$\boxed{\ v(p,s)=\begin{pmatrix}\dfrac{\bm{\sigma}\cdot\bm{p}}{\sqrt{ E_{\bm{p}}+m}}\ \chi^{(s)}\\[3pt] \sqrt{ E_{\bm{p}}+m}\ \chi^{(s)}\end{pmatrix}\ }\tag{4.2.6}$$

が得られる（上下が入れ替わる）。静止極限 $\bm{p}\to0$ を見ると $u$ は上2成分だけ、$v$ は下2成分だけが残る。Dirac 表示で上2成分が正エネルギー、下2成分が負エネルギーに対応するという §1.2 の説明と整合する。