規格化と直交性

場の量子論入門　第4部 第2章 §4.2.2　★★ 約束事：$\bar u u=2m$ と $u^\dagger u=2 E_{\bm{p}}$ の使い分け

式(4.2.5)の前因子を上のように選ぶと、2つの内積が簡単な形になる。まず

$$u^\dagger u=( E_{\bm{p}}+m)\chi^\dagger\chi+\frac{\chi^\dagger(\bm{\sigma}\cdot\bm{p})^2\chi}{ E_{\bm{p}}+m} =( E_{\bm{p}}+m)+\frac{ E_{\bm{p}}^2-m^2}{ E_{\bm{p}}+m}=2 E_{\bm{p}}$$

であり、一方 $\bar u u=u^\dagger\gamma^0u$ では下2成分に $-1$ が掛かるので

$$\bar u u=( E_{\bm{p}}+m)-\frac{ E_{\bm{p}}^2-m^2}{ E_{\bm{p}}+m}=2m$$

となる。まとめると、$\chi^{(r)\dagger}\chi^{(s)}=\delta^{rs}$ の下で

$$\begin{align*}&\bar u(p,r)u(p,s)=2m\,\delta^{rs},&& u^\dagger(p,r)u(p,s)=2 E_{\bm{p}}\,\delta^{rs},\\&\bar v(p,r)v(p,s)=-2m\,\delta^{rs},&& v^\dagger(p,r)v(p,s)=2 E_{\bm{p}}\,\delta^{rs},\\&\bar u(p,r)v(p,s)=0,&& u^\dagger(p,r)v(\tilde p,s)=0\quad(\tilde p\equiv( E_{\bm{p}},-\bm{p})).\end{align*}$$

$\bar u u=2m$ は Lorentz スカラーなのでどの慣性系で測っても同じ値だが、$u^\dagger u=2 E_{\bm{p}}$ は4元流れの時間成分なのでブーストで変わる。$2 E_{\bm{p}}$ という値は第2部で採った相対論的規格化$\langle p | q \rangle =2 E_{\bm{p}}(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ と揃えてある。振幅の中に現れるスピノルの積は Lorentz スカラーを作るので $\bar u u$ の方を、粒子数密度や規格化条件を扱うときは $u^\dagger u$ の方を使う。なお $m\to0$ では $\bar u u\to0$ となり、質量ゼロの粒子では $u^\dagger u=2 E_{\bm{p}}$ の方だけが生き残る。