スピン和

式(4.2.5)を代入する。$\bar u=u^\dagger\gamma^0$ は、下2成分の符号を変えた行ベクトル$\bigl(\sqrt{ E_{\bm{p}}+m}\chi^\dagger,\ -\chi^\dagger(\bm{\sigma}\cdot\bm{p})/\sqrt{ E_{\bm{p}}+m}\bigr)$ である。$2\times2$ ブロックごとに外積を書き、$\sum_s\chi^{(s)}\chi^{(s)\dagger}=\bm{1}$（2成分スピノルの完全性）を使うと

$$\sum_s u\bar u =\begin{pmatrix} ( E_{\bm{p}}+m)\bm{1} & -\bm{\sigma}\cdot\bm{p}\\[2pt] \bm{\sigma}\cdot\bm{p} & -\dfrac{(\bm{\sigma}\cdot\bm{p})^2}{ E_{\bm{p}}+m} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ( E_{\bm{p}}+m)\bm{1} & -\bm{\sigma}\cdot\bm{p}\\[2pt] \bm{\sigma}\cdot\bm{p} & -( E_{\bm{p}}-m)\bm{1} \end{pmatrix}$$

（右下は $(\bm{\sigma}\cdot\bm{p})^2= E_{\bm{p}}^2-m^2=( E_{\bm{p}}+m)( E_{\bm{p}}-m)$ を約分した）。一方 $\not{p}+m=\left(\begin{smallmatrix} E_{\bm{p}}+m&-\bm{\sigma}\cdot\bm{p}\\ \bm{\sigma}\cdot\bm{p}&- E_{\bm{p}}+m\end{smallmatrix}\right)$ なので、両者は一致する。$v$ については同様に

$$\sum_s v\bar v=\begin{pmatrix}( E_{\bm{p}}-m)\bm{1}&-\bm{\sigma}\cdot\bm{p}\\ \bm{\sigma}\cdot\bm{p}&-( E_{\bm{p}}+m)\bm{1}\end{pmatrix} =\not{p}-m .$$