射影演算子

場の量子論入門　第4部 第2章 §4.2.4　★★ 道具：エネルギー射影とスピン射影を演算子で書く

スピン和の結果を $2m$ で割ると、射影演算子ができる。

$$\Lambda_+(p)\equiv\frac{\not{p}+m}{2m}=\frac{1}{2m}\sum_su\bar u, \qquad \Lambda_-(p)\equiv\frac{-\not{p}+m}{2m}=-\frac{1}{2m}\sum_sv\bar v .$$

$\not{p}\not{p}=p^2=m^2$（例題1.1(1)）を使うと

$$\Lambda_\pm^2=\frac{p^2\pm2m\not{p}+m^2}{4m^2}=\frac{2m^2\pm2m\not{p}}{4m^2}=\Lambda_\pm, \qquad \Lambda_++\Lambda_-=1,\qquad \Lambda_+\Lambda_-=0$$

であり、確かに互いに補い合う射影演算子である。$\Lambda_+$ は与えられた $\bm{p}$ に対する4次元スピノル空間を「正振動数の2次元部分空間」へ射影し、$\Lambda_-$ は負振動数側へ射影する。スピンの向きも同様に射影できる。静止系でのスピンの向きを一般の系へブーストして得られる4元ベクトル $s^\mu$（$s\cdot p=0$、$s^2=-1$。スピン4元ベクトルと呼ぶ）を使うと、$\Sigma(s)=(1+\gamma^5\not{s})/2$ が $s$ 方向のスピンをもつ状態への射影になる。$\Lambda_\pm$ と $\Sigma(s)$ は $s\cdot p=0$ の下で交換するので、「正振動数かつスピンが $s$ 向き」という1次元部分空間を $\Lambda_+\Sigma(s)$ で切り出せる。偏極ビームの断面積を計算するときは、スピン和の代わりにこの射影を挟む。