ヘリシティ演算子

$\bm{\Sigma}\cdot\hat{\bm{p}}=\Sigma^3=\mathrm{diag}(\sigma^3,\sigma^3)$ なので、その固有値 $+1$ の2成分スピノルは $\chi^{(+)}=(1,0)^T$ である。$\bm{\sigma}\cdot\bm{p}=p\,\sigma^3$ より $(\bm{\sigma}\cdot\bm{p})\chi^{(+)}=p\,\chi^{(+)}$ だから、式(4.2.5)に代入して

$$u(p,+)=\begin{pmatrix}\sqrt{E+m}\\0\\ \dfrac{p}{\sqrt{E+m}}\\0\end{pmatrix}, \qquad E=\sqrt{p^2+m^2}.$$

上下2成分ともに $\chi^{(+)}$ に比例するので、$\Sigma^3$ の固有ベクトルになっている（$\Sigma^3$ は上下ブロックに同じ $\sigma^3$ が入るので、この形が保たれる）。

質量ゼロ極限では $E\to p$ なので $\sqrt{E+m}\to\sqrt{p}$、$p/\sqrt{E+m}\to\sqrt{p}$ となり

$$u(p,+)\ \to\ \sqrt{p}\,(1,0,1,0)^T .$$

上下2成分が同じ大きさで同符号になる。Dirac 表示では $\gamma^5$ が上下ブロックを入れ替える行列（式(4.1.8)）なので、このスピノルは $\gamma^5$ の固有値 $+1$ の固有ベクトルである。これが第6章で示す「質量ゼロではヘリシティとカイラリティが一致する」ことの、最も簡単な実例になっている。