交換関係で量子化すると何が壊れるか

場の量子論入門　第4部 第3章 §4.3.2　★★★ 背理法の核心：エネルギーが下に有界でなくなり、因果律も破れる

Dirac 場をスカラー場と同じように扱い、正準交換関係$\left[\psi_a(\bm{x}),\,\pi_b(\bm{y})\right]=\mathrm{i}\delta_{ab}\delta^3(\bm{x}-\bm{y})$、すなわちモードについて

$$\left[b^r_{\bm{p}},\,b^{s\dagger}_{\bm{q}}\right]=(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})\delta^{rs}, \qquad \left[c^r_{\bm{p}},\,c^{s\dagger}_{\bm{q}}\right]=(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})\delta^{rs}$$

を課したとしよう。このとき $-c\,c^\dagger=-c^\dagger c-(2\pi)^3\delta^3(0)$ なので、式(4.3.5)は

$$H=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\, E_{\bm{p}}\sum_s\Bigl(b^{s\dagger}b^s-c^{s\dagger}c^s\Bigr)-(\text{無限大の定数})\tag{4.3.7}$$

となる。$c^{s\dagger}c^s$ は個数演算子なので固有値は $0,1,2,\dots$ である。したがって $c$ 型の量子を1個足すたびに、系のエネルギーは $E_{\bm{p}}$ ずつ下がる。反粒子をいくらでも作れば、エネルギーはいくらでも低くできる。つまりハミルトニアンが下に有界でなくなる。基底状態が存在せず、真空は不安定になり、理論として成り立たない。

この病を「$c$ と $c^\dagger$ の役割を入れ替える」ことで回避できないか、と考えたくなる。つまり $c^\dagger$ の方を消滅演算子とみなし、$c^\dagger| 0 \rangle =0$ で真空を定義する。すると1粒子状態は $| 1 \rangle =c| 0 \rangle$ になるが、そのノルムは

$$\langle 1 | 1 \rangle =\langle 0 | c^\dagger c | 0 \rangle =\langle 0 | c\,c^\dagger-\left[c,\,c^\dagger\right] | 0 \rangle =-1$$

となり負である。確率が負になるので、これも物理的に許されない。交換関係で量子化する限り、「エネルギーが下に有界でない」か「ノルムが負」かのどちらかを必ず踏むことになる。

因果律の破れ

もう1つ独立な病がある。場の理論で因果律が要求するのは、空間的に隔たった2点で測った観測量が互いに影響しないこと、すなわち交換することである（第2部 第4章）。Dirac 場そのものは観測量ではないが、観測量は $\bar\psi \Gamma\psi$ の形の双線形式なので、$\psi$ どうしの交換子か反交換子のどちらかが空間的分離で消えれば、双線形式どうしは交換する。

計算すると、スカラー場の正振動数2点関数$D(x-y)=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot(x-y)}$ を使って

$$\begin{align*}\left\{\psi(x),\,\bar\psi (y)\right\}&=\bigl(\mathrm{i}\not{\partial}_x+m\bigr)\bigl[D(x-y)-D(y-x)\bigr],\tag{4.3.8}\\\left[\psi(x),\,\bar\psi (y)\right]&=\bigl(\mathrm{i}\not{\partial}_x+m\bigr)\bigl[D(x-y)+D(y-x)\bigr]\tag{4.3.9}\end{align*}$$

となる（前者は反交換関係で量子化した場合、後者は交換関係で量子化した場合の値）。$D$ は Lorentz 不変な関数であり、空間的分離 $(x-y)^2<0$ では$x-y$ と $y-x$ が連続的な Lorentz 変換で移り合うので $D(x-y)=D(y-x)$ が成り立つ。したがって式(4.3.8)の括弧は空間的分離で恒等的に消えるが、式(4.3.9)の括弧は $2D(x-y)\ne0$ で消えない。交換関係で量子化した Dirac 場では、空間的に隔たった観測量が交換せず、因果律が破れる。

なお同じ計算をスカラー場について行うと、符号の役割がちょうど入れ替わる。$\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]=D(x-y)-D(y-x)$ は空間的分離で消えるが、$\left\{\phi(x),\,\phi(y)\right\}=D(x-y)+D(y-x)$ は消えない。つまりスカラー場を反交換関係で量子化しても因果律が破れる。「どちらの統計を選ぶか」は場の種類ごとに決まっており、選び間違えると必ず何かが壊れる。