反交換関係による治癒

$\left\{b,\,b\right\}=2b^2=0$ から直ちに $b^2=0$、同様に $(b^\dagger)^2=0$。数演算子 $N=b^\dagger b$ について

$$N^2=b^\dagger b\,b^\dagger b=b^\dagger(1-b^\dagger b)b=b^\dagger b-(b^\dagger)^2b^2=N$$

（$\left\{b,\,b^\dagger\right\}=1$ より $bb^\dagger=1-b^\dagger b$ を使った）。$N^2=N$ なので $N$ の固有値 $n$ は $n^2=n$、すなわち $n=0$ または $n=1$ に限られる。したがって $H=\omega N$ の固有値は $\{0,\omega\}$ の2つだけである。（検算 検算スクリプト：$2\times2$ 行列表現で数値確認済み。）

$b^\dagger b$ の固有値が $0,1$ しか取れないことが、エネルギーが下に有界であることとPauli 原理の両方を同時に保証している。交換関係の場合は $n=0,1,2,\dots$ と無限に伸び、式(4.3.7)のように符号が負の項があるとエネルギーが無限に下がってしまう。

$\psi$ と $\psi^\dagger$ の展開を代入すると、$b$ と $b^\dagger$、$c^\dagger$ と $c$ の組み合わせだけが生き残る。$\psi^\dagger=\bar\psi \gamma^0$ を使い、$\bm{q}$ 積分を $\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ で潰すと

$$\left\{\psi_a(\bm{x}),\,\psi^\dagger_b(\bm{y})\right\} =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{\bm{p}}} \Bigl[\bigl((\not{p}+m)\gamma^0\bigr)_{ab}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})} +\bigl((\not{p}-m)\gamma^0\bigr)_{ab}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})}\Bigr]$$

となる（スピン和の定理4.2.1を2回使った。同時刻なので指数の時間部分は消え、空間部分だけが残る）。第2項で積分変数を $\bm{p}\to-\bm{p}$ と置き換えると、$\not{p}= E_{\bm{p}}\gamma^0-p^i\gamma^i$ の空間部分の符号が反転して$\not{p}\to E_{\bm{p}}\gamma^0+p^i\gamma^i$ になり、指数は第1項と同じ形になる。2つを足すと $\gamma^i$ の項と $m$ の項がちょうど打ち消し合い、

$$\left\{\psi_a(\bm{x}),\,\psi^\dagger_b(\bm{y})\right\} =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{2 E_{\bm{p}}(\gamma^0\gamma^0)_{ab}}{2 E_{\bm{p}}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})} =\delta_{ab}\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})} =\delta_{ab}\,\delta^3(\bm{x}-\bm{y})$$

を得る（$(\gamma^0)^2=1$）。$m$ の項が打ち消し合うのは、$u$ 側のスピン和が $+m$、$v$ 側が $-m$ という符号の違いによる。$u$ と $v$ のスピン和の2つの公式が、ここで初めて対になって使われる。