Pauli 原理は定理になる

場の量子論入門　第4部 第3章 §4.3.4　★★★ 帰結：反対称化の要請が反交換関係から自動的に出る

反交換関係 $\left\{b^{s\dagger}_{\bm{p}},\,b^{r\dagger}_{\bm{q}}\right\}=0$ の直接の帰結として、2粒子状態は

$$b^{s\dagger}_{\bm{p}}b^{r\dagger}_{\bm{q}}| 0 \rangle =-\,b^{r\dagger}_{\bm{q}}b^{s\dagger}_{\bm{p}}| 0 \rangle$$

を満たす。すなわち2粒子を入れ替えると状態ベクトルの符号が変わる。これは『量子力学入門』第9部で仮定した反対称化の要請そのものである。さらに $\bm{p}=\bm{q},\ s=r$ とおくと

$$\bigl(b^{s\dagger}_{\bm{p}}\bigr)^2| 0 \rangle =0$$

となり、同じ運動量・同じスピンの状態には2個以上の電子を入れられない。これがPauli の排他原理である。

論理の向きが逆転したことに注意したい。非相対論の量子力学では「実験がそうだから波動関数を反対称にする」だった。場の理論では「エネルギーが下に有界であり、かつ因果律が保たれるためには反交換関係でなければならない」（§3.2）→「反交換関係だから状態は反対称であり、同じ状態に2個入らない」となる。Pauli 原理は要請ではなく定理であり、その根拠は相対論と正定値性である。Dirac の海（『量子力学入門』第13部 第4章）が Pauli 原理を前提として負エネルギー状態への落下を止めていたのに対し、場の理論ではそもそも負エネルギー状態が現れず、海の描像は不要になる。