スピン統計定理の一般命題

定理 （スピン統計定理（Pauli 1940） ★★）

4次元 Minkowski 時空の場の量子論が、(i) Lorentz 不変性、(ii) エネルギーが下に有界であること、(iii) 空間的分離での観測量の交換（微視的因果律）、(iv) Hilbert 空間の計量が正定値であることのすべてを満たすならば、整数スピンの場は交換関係で、半整数スピンの場は反交換関係で量子化されなければならない。したがって整数スピンの粒子は Bose 統計に、半整数スピンの粒子は Fermi 統計に従う。

第3章のまとめ

Dirac 場のハミルトニアンは、量子化の仕方に依らず$H=\int E_{\bm{p}}(b^\dagger b-c\,c^\dagger)$ という形に出る。交換関係を課すと $-c^\dagger c$ が残ってエネルギーが下に有界でなくなり、役割を入れ替えて逃げようとすればノルムが負になる。さらに $\left[\psi,\,\bar\psi \right]$ が空間的分離で消えず因果律も破れる。反交換関係を課すと $+c^\dagger c$ になって $H$ が正定値になり、$\left\{\psi,\,\bar\psi \right\}$ は空間的分離で消える。その副産物として状態の反対称性と Pauli 原理が定理として出る。一般命題がスピン統計定理である。