フェルミオンの時間順序積

場の量子論入門　第4部 第4章 §4.4.1　★★★ 定義：入れ替えに符号が付く

摂動論では時間順序積 $\mathrm{T}\!\left\{\cdots\right\}$ が主役になる（第3部 第1章）。フェルミオン場では、時間順序積の定義に符号を入れる。

$$\mathrm{T}\!\left\{\psi(x)\bar\psi (y)\right\}\equiv \begin{cases} \ \ \psi(x)\bar\psi (y) & (x^0>y^0)\\[2pt] -\,\bar\psi (y)\psi(x) & (y^0>x^0) \end{cases}\tag{4.4.1}$$

符号を入れる理由は3つある。第1に、$x^0=y^0$ の境界で定義が矛盾しないためである。同時刻では $\left\{\psi,\,\bar\psi \right\}$ が（$\bm{x}\ne\bm{y}$ で）ゼロなので $\psi\bar\psi =-\bar\psi \psi$ であり、式(4.4.1)の2つの場合は境界で滑らかにつながる。符号を入れなければ境界で不連続になる。第2に、Lorentz 不変性のためである。空間的分離では $x^0>y^0$ と $y^0>x^0$ が慣性系の取り方で入れ替わるので、$\mathrm{T}\!\left\{\cdot\right\}$ が不変量であるためには、入れ替えたときに同じ値を与える必要がある。反交換する場に対しては、符号付きの定義(4.4.1)がその条件を満たす。第3に、Wick の定理が成立するためである。フェルミオン場の Wick の定理では、縮約を隣り合う位置へ動かすたびに、またいだ場の数だけ符号 $(-1)$ が付く。時間順序積の定義に符号が入っていることと、この規則は一体であり、§4.3 のフェルミオンループの符号はその最も目立つ帰結である。