Feynman 伝播関数の導出

場の量子論入門　第4部 第4章 §4.4.2　★★★ 最重要公式：$S_F(p)=\mathrm{i}(\not p+m)/(p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon)$

Dirac 場の Feynman 伝播関数を

$$S_F(x-y)\equiv\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\psi(x)\bar\psi (y)\right\} | 0 \rangle$$

で定義する（$4\times4$ 行列である）。真空期待値をモード展開で計算する。$x^0>y^0$ のとき、真空を挟むと $b$ と $b^\dagger$ の対だけが残り、スピン和の定理4.2.1から

$$\langle 0 | \psi(x)\bar\psi (y) | 0 \rangle =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\bigl(\not{p}+m\bigr)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot(x-y)} \Bigl|_{p^0= E_{\bm{p}}}$$

となる。$y^0>x^0$ のときは $c$ と $c^\dagger$ の対だけが残り、式(4.4.1)の符号を付けて

$$-\langle 0 | \bar\psi (y)\psi(x) | 0 \rangle =-\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\bigl(\not{p}-m\bigr)\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot(x-y)} \Bigl|_{p^0= E_{\bm{p}}}$$

となる。この2つを1本の4次元積分にまとめる方法は、スカラー場のとき（第2部 第4章）と同じで、$p^0$ を複素平面へ延長し $\mathrm{i}\varepsilon$ 処方で極をずらす。結果は

$$\boxed{\ S_F(x-y)=\int\!\frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4}\ \frac{\mathrm{i}\bigl(\not{p}+m\bigr)}{p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot(x-y)}\ }\tag{4.4.5}$$

であり、運動量空間の伝播関数は

$$S_F(p)=\frac{\mathrm{i}(\not{p}+m)}{p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}=\frac{\mathrm{i}}{\not{p}-m+\mathrm{i}\varepsilon}$$

と書ける。2つ目の等号は $(\not{p}-m)(\not{p}+m)=p^2-m^2$（例題1.1(1)）による。右側の書き方は形式的な逆行列の記法であり、実際に計算するときは分子を有理化した左側を使う。

導出の要点を確認しておく。$x^0>y^0$ では $p^0$ 積分の閉路を下半平面で閉じ、$p^0=+ E_{\bm{p}}-\mathrm{i}\varepsilon$ の極を拾うと、$p^0= E_{\bm{p}}$ を代入した $(\not{p}+m)/(2 E_{\bm{p}})$ が出る。$y^0>x^0$ では上半平面で閉じて $p^0=- E_{\bm{p}}+\mathrm{i}\varepsilon$ の極を拾い、$\bm{p}\to-\bm{p}$ と置き換えると $(\not{p}-m)$ に $-1$ を掛けた形が出る。分子の $\not{p}$ が $p^0$ に依存するので2つの場合で分子の値が変わる点がスカラー場との違いであり、その違いが $u$ と $v$ のスピン和の符号差に対応している。