フェルミオンループの符号

寄与するのは

$$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\bigl(\bar\psi _a(x)\Gamma_{ab}\psi_b(x)\bigr)\bigl(\bar\psi _c(y)\Gamma_{cd}\psi_d(y)\bigr)\right\} | 0 \rangle$$

のうち、$\psi_b(x)$ と $\bar\psi _c(y)$、$\psi_d(y)$ と $\bar\psi _a(x)$ を縮約した項である（$a,b,c,d$ はスピノル添字。$\Gamma$ は数の並びなので自由に動かしてよい）。第1の縮約は隣り合っているのでそのまま $S_F(x-y)_{bc}$ になる。

問題は第2の縮約で、$\psi_d(y)$ と $\bar\psi _a(x)$ は間に3つの場（$\bar\psi _a(x)$ から見て $\psi_b(x),\bar\psi _c(y),\psi_d(y)$ の並びのうち手前の3つ）を挟んでいる。縮約を取るには縮約する2つを隣接させる必要があり、$\bar\psi _a(x)$ を右へ3回移動させる。フェルミオン場は反交換するので、1回の移動ごとに $(-1)$ が付き、合計 $(-1)^3=-1$ である。その結果、

$$-\,\Gamma_{ab}S_F(x-y)_{bc}\,\Gamma_{cd}S_F(y-x)_{da} =-\operatorname{Tr}\bigl[\Gamma\,S_F(x-y)\,\Gamma\,S_F(y-x)\bigr]$$

となる。スピノル添字が $a\to b\to c\to d\to a$ と一巡するのでトレースになり、全体に $(-1)$ が掛かる。頂点が $n$ 個の閉ループでも、同じ数え方で移動回数が奇数になり、符号は必ず $(-1)$ である。