パリティ

場の量子論入門　第4部 第5章 §4.5.1　★ 定義：空間座標の反転。$\gamma^0$ が変換行列になる

連続的な対称性（並進・回転・ブースト）は Noether の定理を通じて保存量を与えた。これに対し、連続変形でつながらない離散的な変換が3つある。空間反転（パリティ $P$）、荷電共役 $C$、時間反転 $T$ である。これらは電磁相互作用と強い相互作用では対称性だが、弱い相互作用では破れている。本章では Dirac 場に対する作用を書き下し、双線形形式の変換表をまとめる。

空間反転は $x=(t,\bm{x})\to(t,-\bm{x})$ である。Dirac 場に対する作用を

$$P\,\psi(t,\bm{x})\,P^{-1}=\eta_P\,\gamma^0\,\psi(t,-\bm{x})\tag{4.5.1}$$

と取ると、Dirac 方程式が形を保つ（$\eta_P$ は $|\eta_P|=1$ の位相で、選び方は慣習による）。$\gamma^0$ が現れる理由は、$\gamma^0\gamma^i\gamma^0=-\gamma^i$ かつ $\gamma^0\gamma^0\gamma^0=\gamma^0$ という式(4.1.4)の関係が、ちょうど空間成分だけの符号反転を実現するからである。生成消滅演算子には $P\,b^s_{\bm{p}}\,P^{-1}=\eta_P\,b^s_{-\bm{p}}$、$P\,c^s_{\bm{p}}\,P^{-1}=-\eta_P^*\,c^s_{-\bm{p}}$ と作用する。運動量が反転するのは当然として、注目すべきは第2式の余分な負符号であり、これは「フェルミオンと反フェルミオンの内在パリティは逆符号である」ことを意味する。電子と陽電子の対（ポジトロニウム）の崩壊で観測される選択則は、この符号の帰結である。