時間反転

場の量子論入門　第4部 第5章 §4.5.3　★ 定義：反ユニタリ変換。複素共役が本質的に入る

時間反転 $t\to-t$ は、他の2つと違って反ユニタリ変換である。理由は Schrödinger 方程式 $\mathrm{i}\partial_t\psi=H\psi$ にある。$t\to-t$ で左辺の符号が変わるので、方程式を保つには同時に $\mathrm{i}\to-\mathrm{i}$ としなければならず、複素数を複素共役に写す変換はユニタリではなく反ユニタリだからである。Dirac 場に対しては（位相の慣習を除いて）$T\,\psi(t,\bm{x})\,T^{-1}=\gamma^1\gamma^3\,\psi(-t,\bm{x})$ と取る。$\gamma^1\gamma^3$ が現れるのは、Dirac 表示で $\gamma^1,\gamma^3$ が実行列、$\gamma^0,\gamma^2$ が虚行列であることに対応している。$T$ が反ユニタリなので、$T$ 対称性は保存量を与えず、代わりに「順過程と逆過程の振幅が等しい」という形の関係（詳細釣り合い）を与える。