双線形形式の変換表

場の量子論入門　第4部 第5章 §4.5.4　★ 一覧：どの結合がどの対称性を破るかを読むための表

第1章 §1.4 の5種類の双線形形式が、$C,P,T$ でどう変換するかを表にまとめる。記号 $(-1)^\mu$ は、$\mu=0$ なら $+1$、$\mu=1,2,3$ なら $-1$ を意味する。

この表の使い方を1つ挙げる。QED の相互作用 $-e\bar\psi \gamma^\mu\psi A_\mu$ は、電磁場が $C$ で $A_\mu\to-A_\mu$ と変わることと、表の $\bar\psi \gamma^\mu\psi$ の $C$ が $-1$ であることが打ち消し合うので $C$ 不変であり、$P$ についても $A_\mu$ と流れが同じ $(-1)^\mu$ で変換するので不変である。一方、弱い相互作用の流れ $\bar\psi \gamma^\mu(1-\gamma^5)\psi$ はベクトルと軸性ベクトルの和で、表のとおりこの2つは $P$ で逆符号に変換されるので、$P$ を掛けると$(1-\gamma^5)$ が $(1+\gamma^5)$ に変わって元の形に戻らない。弱い相互作用が $P$ を破るのは、この構造の直接の帰結である。最終行の $CPT$ に注目すると、どの双線形形式も「添字の数だけ $(-1)$ が付く」という単純な規則に従っている。Lorentz スカラーでは添字が必ず偶数個になるので$CPT$ の符号は常に $+1$ であり、これが次節の定理の内容である。