質量項が左右を混ぜること

(1) は $(\gamma^5)^2=1$ の直接の帰結である。$P_L+P_R=\tfrac12(1-\gamma^5)+\tfrac12(1+\gamma^5)=1$。$P_LP_R=\tfrac14(1-\gamma^5)(1+\gamma^5)=\tfrac14(1-(\gamma^5)^2)=0$。$P_L^2=\tfrac14(1-2\gamma^5+1)=\tfrac12(1-\gamma^5)=P_L$、$P_R$ も同様。

(2) $\psi=P_L\psi+P_R\psi$ を両側に入れる。$\bar\psi \gamma^\mu\psi=\bar\psi (P_L+P_R)\gamma^\mu(P_L+P_R)\psi$ で、$\gamma^\mu$ と $\gamma^5$ が反交換するので $\gamma^\mu P_L=P_R\gamma^\mu$。したがって$P_L\gamma^\mu P_L=P_LP_R\gamma^\mu=0$、$P_R\gamma^\mu P_R=0$ となり、交差する2項 $P_L\gamma^\mu P_R$ と $P_R\gamma^\mu P_L$ だけが残る。$\bar\psi P_R=\bar\psi _L$、$\bar\psi P_L=\bar\psi _R$ を使うと主張の形になる。

(3) 質量項には $\gamma$ が挟まらないので、$P_LP_L=P_L$、$P_LP_R=0$ から対角成分 $\bar\psi P_RP_R\psi=\bar\psi _L\psi_R$ と $\bar\psi P_LP_L\psi=\bar\psi _R\psi_L$ だけが残る。(2) と (3) で生き残る組み合わせが逆になるのが要点で、その違いを作っているのは $\gamma^\mu$ が $\gamma^5$ と反交換することだけである。

Dirac 方程式 $(\mathrm{i}\not{\partial}-m)\psi=0$ は $\gamma^\mu\partial_{\mu}\psi=-\mathrm{i} m\psi$ と書ける。$\bar\psi$ の方程式 $\mathrm{i}\partial_{\mu}\bar\psi \gamma^\mu+m\bar\psi =0$ は$\partial_{\mu}\bar\psi \,\gamma^\mu=\mathrm{i} m\bar\psi$ である。積の微分から

$$\partial_{\mu} j^\mu_5=\bigl(\partial_{\mu}\bar\psi \,\gamma^\mu\bigr)\gamma^5\psi +\bar\psi \gamma^\mu\gamma^5\bigl(\partial_{\mu}\psi\bigr).$$

第1項は $\mathrm{i} m\,\bar\psi \gamma^5\psi$。第2項は $\left\{\gamma^5,\,\gamma^\mu\right\}=0$ で $\gamma^5$ を左へ抜き、$\gamma^\mu\partial_{\mu}\psi=-\mathrm{i} m\psi$ を入れると$-\bar\psi \gamma^5\gamma^\mu\partial_{\mu}\psi=-\bar\psi \gamma^5(-\mathrm{i} m\psi)=\mathrm{i} m\,\bar\psi \gamma^5\psi$。合わせて

$$\partial_{\mu} j^\mu_5=2\mathrm{i} m\,\bar\psi \gamma^5\psi .$$

$m=0$ のときに限り右辺が消え、軸性流が保存する。ベクトル流$j^\mu=\bar\psi \gamma^\mu\psi$ は質量があっても保存した（§1.1）ことと対照的である。違いは $\gamma^5$ が $\gamma^\mu$ と反交換する（したがって左右が入れ替わる）ことから来ており、「質量項だけが左右を混ぜる」という本節の結論を、保存則の言葉で言い直したものになっている。