カイラル射影演算子

場の量子論入門　第4部 第6章 §4.6.1　★★ 道具：$\gamma^5$ とその射影。質量ゼロで物理的意味をもつ

$\gamma^5\equiv\mathrm{i}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ は次の2つの性質をもつ（どちらも検算済み）。

$$\bigl(\gamma^5\bigr)^2=1, \qquad \left\{\gamma^5,\,\gamma^\mu\right\}=0 .\tag{4.6.1}$$

第2式は、$\gamma^5$ の定義に4本の $\gamma$ が入っていることから出る。$\gamma^\mu$ を $\gamma^5$ の中の4本と順に交換させると、同じ添字の1本とは交換し（符号が付かず）、残り3本とは反交換する（符号 $(-1)^3$）ので、全体で $-1$ になる。第1式は Dirac 代数から直接計算できる。$(\gamma^5)^2=1$ なので固有値は $\pm1$ に限られる。そこで

$$P_L\equiv\frac{1-\gamma^5}{2}, \qquad P_R\equiv\frac{1+\gamma^5}{2}$$

と定義すると、これらは射影演算子である。実際$P_{L}^2=\tfrac14(1-2\gamma^5+(\gamma^5)^2)=\tfrac14(2-2\gamma^5)=P_L$、同様に $P_R^2=P_R$、さらに$P_L+P_R=1$、$P_LP_R=\tfrac14(1-(\gamma^5)^2)=0$ が成り立つ。これを使ってスピノルを $\psi_L=P_L\psi$、$\psi_R=P_R\psi$（$\psi=\psi_L+\psi_R$）と分解する。$\psi_L$ を左巻き成分、$\psi_R$ を右巻き成分と呼び、$\gamma^5$ の固有値をカイラリティ（掌性）と呼ぶ。$\gamma^5$ は $\gamma$ 行列の偶数個の積である Lorentz 変換の生成子 $S^{\mu\nu}$ と交換するので、カイラリティはLorentz 不変な分類である。ヘリシティが不変でなかった（§2.5）のと対照的である。

Weyl 表示(4.1.9)では $\gamma^5=\mathrm{diag}(-\bm{1},\bm{1})$ が対角なので、$\psi_L$ は上2成分、$\psi_R$ は下2成分そのものになる。カイラリティを扱うときにWeyl 表示が便利なのはこのためである。