Weyl 方程式と標準模型への予告

場の量子論入門　第4部 第6章 §4.6.4　★ 展望：2成分の方程式と、標準模型の左右非対称

質量ゼロの Dirac 方程式は、Weyl 表示で書くと2成分ずつに分裂する。$\gamma^5$ が対角なので $\psi=(\psi_L,\psi_R)^{\mathrm{T}}$ と書け、$\sigma^\mu=(\bm{1},\bm{\sigma})$、$\bar\sigma^\mu=(\bm{1},-\bm{\sigma})$ を使うと

$$\mathrm{i}\bar\sigma^\mu\partial_{\mu}\psi_L=0, \qquad \mathrm{i}\sigma^\mu\partial_{\mu}\psi_R=0$$

となる。これをWeyl 方程式と呼び、2成分の $\psi_L,\psi_R$ を Weyl スピノルと呼ぶ。質量がゼロなら4成分の Dirac スピノルは独立な2つの Weyl スピノルに分解し、逆に言えば Dirac 質量は左巻き Weyl 場と右巻き Weyl 場を結ぶ項である。

標準模型は、この左右の非対称性を理論の骨格に組み込んでいる。弱い相互作用のゲージ群 $SU(2)$ は左巻き成分にだけ作用し、右巻き成分は1重項である。この構造のため、クォークとレプトンの質量項 $m\bar\psi _L\psi_R$ をそのまま書くとゲージ不変性が壊れる。標準模型はこれを Higgs 場との湯川結合で解決し、Higgs 場が真空期待値をもつことで質量が生じる仕組みを採る。つまりフェルミオンの質量の起源は、カイラリティが左右で異なる扱いを受けることに直結している。ニュートリノも長く質量ゼロの左巻き Weyl 場として扱われてきたが、ニュートリノ振動の発見で有限の質量をもつことが確立した。右巻きニュートリノによる Dirac 質量か、中性を利用した Majorana 質量（左巻き場だけで作れる質量項）かは未解決で、ニュートリノを伴わない二重 $\beta$ 崩壊の探索が判定の鍵になっている。