大域的な位相の自由度と Noether 電荷

場の量子論入門　第5部 第1章 §5.1.1　★★★ 出発点。保存カレントが後で結合の相手になる

『量子力学入門』の第5部「電磁場中の荷電粒子とゲージ」では、電磁ポテンシャル $A_\mu$ を外から与え、荷電粒子の Hamiltonian に $\hat{\bm{p}}\to\hat{\bm{p}}-q\bm{A}$ という置き換え（極小結合）で組み込んだ。そこでは、ゲージ変換 $\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\chi$ に伴って波動関数が位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\chi}$ を獲得すること、その位相が Aharonov–Bohm 効果として干渉縞のずれに現れることを見た。論理の向きは「電磁場が先にあり、量子力学の波動関数がそれに合わせて位相を変える」であった。

本章では論理を逆向きに辿る。出発点は電磁場ではなく、自由な Dirac 場が持つ位相の任意性である。この任意性を時空の各点で独立に使ってよいと要求すると、Lagrangian 密度はそのままでは不変でなくなり、破れを埋め合わせるためにベクトル場を1つ導入することが強制される。導入された場の変換則・運動項の形・質量を持てないことが、すべて要求から決まる。結果として現れるのは電磁場そのものであり、相互作用の形まで対称性が指定する。この論法をゲージ原理と呼ぶ。

自由 Dirac 場の Lagrangian 密度は

$$\mathcal{L}_0=\bar\psi \bigl(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_{\mu}-m\bigr)\psi=\bar\psi \bigl(\mathrm{i}\not\partial-m\bigr)\psi$$

である（第4部 第1章）。ここで $\bar\psi =\psi^\dagger\gamma^0$ である。この $\mathcal{L}_0$ は、定数 $\alpha$ を用いた位相変換

$$\psi(x)\ \longrightarrow\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\psi(x),\qquad \bar\psi (x)\ \longrightarrow\ \mathrm{e}^{+\mathrm{i}\alpha}\bar\psi (x)$$

で不変である。$\psi$ と $\bar\psi$ の位相が逆符号で現れ、$\mathcal{L}_0$ の各項が $\bar\psi \cdots\psi$ の形をしているので、位相因子が相殺するからである。位相因子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}$ の全体は絶対値1の複素数の集合であり、群として $U(1)$ をなす。$\alpha$ が時空の点によらない定数であることを強調して、この対称性を大域的 $U(1)$ 対称性（global $U(1)$ symmetry）と呼ぶ。「大域的」とは、宇宙のどの点でも同じ量だけ位相を回す、という意味である。

連続対称性には保存カレントが対応する（Noether の定理。第1部 第4章）。この場合のカレントは

$$j^\mu=\bar\psi \gamma^\mu\psi,\qquad \partial_{\mu} j^\mu=0,\qquad Q=\int\!\mathrm{d}^3x\,j^0=\int\!\mathrm{d}^3x\,\psi^\dagger\psi$$

であり、$Q$ は場の量子化の後には「粒子数から反粒子数を引いたもの」を数える演算子になる（第4部 第2章）。電荷を測るのはこの $Q$ に電気素量を掛けたものである。