共変微分とゲージ場の導入

2026年10月15日6分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第5部第1章局所ゲージ不変性とゲージ場

AI 生成・木下が未勉強

場の量子論入門　第5部第1章 §5.1.3　★★★ ゲージ場は「入れてもよい」のではなく「入れざるを得ない」

新しいベクトル場 $A_\mu(x)$ を導入し、微分を

$\boxed{\ D_\mu\equiv\partial_{\mu}+\mathrm{i} eA_\mu\ }$

で置き換える。 $D_\mu$ を共変微分（covariant derivative）と呼ぶ。 $e$ は結合の強さを表す定数（結合定数）である。「共変」という名前は、 $D_\mu\psi$ が $\psi$ と同じ変換をすること、すなわち

$D_\mu\psi\ \longrightarrow\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha(x)}\,D_\mu\psi$

が成り立つことに由来する。素の微分 $\partial_{\mu}\psi$ は余分な項を出してこの形にならなかった。この要求を満たすために $A_\mu$ が従うべき変換則は一意に決まり（例題 5.1.2 で示す）

$\boxed{\ A_\mu(x)\ \longrightarrow\ A_\mu(x)+\frac{1}{e}\partial_{\mu}\alpha(x)\ }$

となる。これは電磁ポテンシャルのゲージ変換 $\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\chi$ 、 $A^0\to A^0-\partial\chi/\partial t$ そのものである（ $\chi=-\alpha/e$ と読み替えればよい）。導入した $A_\mu$ をゲージ場と呼ぶ。

これで

$\mathcal{L}=\bar\psi \bigl(\mathrm{i}\not D-m\bigr)\psi =\underbrace{\bar\psi (\mathrm{i}\not\partial-m)\psi}_{\text{自由部分}} \ \underbrace{-\,e\,\bar\psi \gamma^\mu\psi\,A_\mu}_{\text{相互作用}}$

が局所ゲージ変換のもとで不変になる。右辺第2項が相互作用項であり、 $-e\,j^\mu A_\mu$ の形をしている。ここで得られた結論は3つある。第一に、相互作用の相手は勝手な量ではなく、対称性が生む保存カレント $j^\mu$ である。第二に、結合の形は $j^\mu A_\mu$ という縮約に固定され、たとえば $\bar\psi \gamma^\mu\gamma^5\psi A_\mu$ のような別の結合は現れない。第三に、自由パラメータは結合定数 $e$ ただ1つである。相互作用の形をこちらで選ぶ余地は残っていない。

$e$ の符号の約束について

共変微分を $D_\mu=\partial_{\mu}+\mathrm{i} eA_\mu$ と書いたとき、 $\psi$ の量子が担う電荷は $+e$ である（電荷 $q$ の粒子の極小結合は $\mathrm{i}\partial_{\mu}\to\mathrm{i}\partial_{\mu}-qA_\mu$ 、すなわち $D_\mu=\partial_{\mu}+\mathrm{i} qA_\mu$ ）。電子場にこの式をそのまま当てはめるなら、 $e$ は電子の電荷そのもの（負の量）を表す。一方、素電荷を正に取って $e>0$ 、電子の電荷を $-e$ と書く流儀も広く使われ、その場合の共変微分は $D_\mu=\partial_{\mu}-\mathrm{i} eA_\mu$ 、頂点因子は $+\mathrm{i} e\gamma^\mu$ になる。本書は記法の正本にしたがって前者の書き方（ $D_\mu=\partial_{\mu}+\mathrm{i} eA_\mu$ 、頂点 $-\mathrm{i} e\gamma^\mu$ ）を採り、微細構造定数を $\alpha=e^2/4\pi=1/137.036$ 、 $e=\sqrt{4\pi\alpha}=0.302822$ と定める。この部で計算する断面積はすべて $e^4=(4\pi\alpha)^2$ に比例するので、 $e$ の符号の取り方は結果を変えない。符号が結果を分けるのは、外場中で粒子がどちら向きに曲がるか、電荷の異なる粒子の振幅を足し合わせて干渉させるとどうなるか、といった場面である。

位相の比較という見方（Aharonov–Bohm 効果とのつながり）

異なる点 $x$ と $y$ で場の位相を比べる道具が $U(y,x)=\exp[-\mathrm{i} e\int_x^yA_\mu\mathrm{d} z^\mu]$ であり、ゲージ変換のもとで $U(y,x)\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha(y)}U(y,x)\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\alpha(x)}$ と変換するので $\bar\psi (y)U(y,x)\psi(x)$ はゲージ不変になる。 $y\to x$ で1次まで展開すると共変微分 $D_\mu$ が現れる。閉じた経路についての位相 $\exp[-\mathrm{i} e\oint A\cdot\mathrm{d} z]$ が Aharonov–Bohm 効果で観測された位相であり（『量子力学入門』第5部「電磁場中の荷電粒子とゲージ」）、そこで測っていたのは「離れた2点の位相を比べる道具そのもの」であった。

例題 1.2（ゲージ場の変換則は一意に決まる ★★★）

オリジナル $\psi\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha(x)}\psi$ に対して $D_\mu\psi\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha(x)}D_\mu\psi$ が成り立つように $A_\mu\to A_\mu+\delta A_\mu$ を定めると、 $\delta A_\mu=\frac1e\partial_{\mu}\alpha$ 以外にないことを示せ。

解答

変換後の共変微分を $D'_\mu=\partial_{\mu}+\mathrm{i} e(A_\mu+\delta A_\mu)$ と書く。要求は

$D'_\mu\bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\psi\bigr)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\bigl(\partial_{\mu}+\mathrm{i} eA_\mu\bigr)\psi$

である。左辺を展開する。Leibniz 則より

$\partial_{\mu}\bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\psi\bigr)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\bigl(\partial_{\mu}\psi-\mathrm{i}(\partial_{\mu}\alpha)\psi\bigr)$

だから

$D'_\mu\bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\psi\bigr) =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\Bigl(\partial_{\mu}\psi-\mathrm{i}(\partial_{\mu}\alpha)\psi+\mathrm{i} eA_\mu\psi+\mathrm{i} e\,\delta A_\mu\,\psi\Bigr).$

右辺と突き合わせると、 $\psi$ に掛かる項として

$-\mathrm{i}\,\partial_{\mu}\alpha+\mathrm{i} e\,\delta A_\mu=0 \qquad\Longrightarrow\qquad \delta A_\mu=\frac{1}{e}\partial_{\mu}\alpha$

が必要十分である。 $\psi$ は任意の場だから係数どうしが等しくなければならず、これ以外の選択肢はない。

なお、 $\alpha$ を定数に戻すと $\delta A_\mu=0$ となり、大域変換ではゲージ場は動かない。局所化して初めてゲージ場が変換を受ける。 $\blacksquare$

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下智貴

← AI生成教科書『基礎理論』の記事一覧へ