場の強さとゲージ不変な運動項

場の量子論入門　第5部 第1章 §5.1.4　★★★ $F_{\mu\nu}$ は共変微分の交換子。Maxwell 項の形が決まる

ここまでで $A_\mu$ は導入されたが、$A_\mu$ 自身が時空を伝わるための運動項がまだない。運動項は、$A_\mu$ の微分を含み、Lorentz 不変で、局所ゲージ変換のもとで不変でなければならない。そのような量を作る材料が、共変微分どうしの交換子である。任意の場 $\psi$ に対して

$$\left[D_\mu,\,D_\nu\right]\psi=\mathrm{i} e\bigl(\partial_{\mu} A_\nu-\partial_{\nu} A_\mu\bigr)\psi$$

が成り立つ（例題 5.1.3 ）。微分演算子どうしの交換子であるにもかかわらず、右辺には微分が残らず、掛け算の演算子になっている点が要点である。そこで

$$\boxed{\ F_{\mu\nu}\equiv\frac{1}{\mathrm{i} e}\left[D_\mu,\,D_\nu\right]=\partial_{\mu} A_\nu-\partial_{\nu} A_\mu\ }$$

と定義する。$F_{\mu\nu}$ を場の強さ（field strength）と呼ぶ。$D_\mu\psi$ が $\psi$ と同じ位相因子で変換するので、$\left[D_\mu,\,D_\nu\right]\psi$ も同じ位相因子で変換し、したがって $F_{\mu\nu}$ 自身は位相因子を持たない。すなわち $F_{\mu\nu}$ はゲージ不変である。直接確かめても

$$F_{\mu\nu}\to\partial_{\mu}\Bigl(A_\nu+\tfrac1e\partial_{\nu}\alpha\Bigr)-\partial_{\nu}\Bigl(A_\mu+\tfrac1e\partial_{\mu}\alpha\Bigr)=F_{\mu\nu}$$

であり、$\partial_{\mu}\partial_{\nu}\alpha$ の対称性から余分な項が消える。成分を書けば$F^{0i}=-E^i$、$F^{ij}=-\varepsilon^{ijk}B^k$ であり、$F_{\mu\nu}$ は電場と磁場を1つのテンソルにまとめたものである。

ゲージ不変で Lorentz 不変、かつ質量次元が4以下（くりこみ可能性の要請。第6部）という条件で $F_{\mu\nu}$ から作れる項は、$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ と$\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$ の2つしかない。後者は全微分であり運動方程式に寄与しないので落とす（空間反転で符号を変えるため、パリティを保つ理論ではそもそも許されないという言い方もできる）。残るのは

$$\mathcal{L}_A=-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

であり、係数 $-1/4$ は $\mathcal{L}_A=\frac12(\bm{E}^2-\bm{B}^2)$ という標準的な規格化に対応する。こうして QED の Lagrangian 密度

$$\boxed{\ \mathcal{L}_{\rm QED}=\bar\psi \bigl(\mathrm{i}\not D-m\bigr)\psi-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} =\bar\psi (\mathrm{i}\not\partial-m)\psi-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-e\,\bar\psi \gamma^\mu\psi\,A_\mu\ }$$

が完成する。$A_\mu$ についての Euler–Lagrange 方程式は

$$\partial_{\mu} F^{\mu\nu}=e\,\bar\psi \gamma^\nu\psi$$

であり、右辺を電流と読めば Maxwell 方程式の非斉次な組（Gauss の法則と Ampère–Maxwell の法則）である。斉次な組（$\nabla\cdot\bm{B}=0$ と Faraday の法則）は $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu} A_\nu-\partial_{\nu} A_\mu$ という表示から恒等的に従う（Bianchi 恒等式）。電磁気学で経験則として与えられていた Maxwell 方程式が、ここでは局所 $U(1)$ 不変性の要求から導かれた。