光子が質量を持てない理由

場の量子論入門　第5部 第1章 §5.1.5　★★ ゲージ不変性が質量項を禁じる。長距離力であることの理論的な根拠

ゲージ場 $A_\mu$ に質量を与える項は $\frac12m_\gamma^2A_\mu A^\mu$ である。この項はゲージ変換のもとで

$$\frac12m_\gamma^2A_\mu A^\mu\ \longrightarrow\ \frac12m_\gamma^2\Bigl(A_\mu+\frac1e\partial_{\mu}\alpha\Bigr)\Bigl(A^\mu+\frac1e\partial^{\mu}\alpha\Bigr) =\frac12m_\gamma^2A_\mu A^\mu+\frac{m_\gamma^2}{e}A_\mu\partial^{\mu}\alpha+\frac{m_\gamma^2}{2e^2}\partial_{\mu}\alpha\,\partial^{\mu}\alpha$$

と変化し、$m_\gamma\neq0$ ならば余分な項が残る。$F_{\mu\nu}$ と違って $A_\mu$ 自身はゲージ不変でないから、$A_\mu$ を2つ掛けた量も不変にならない。したがって局所ゲージ不変性を要求する限り、ゲージ場は質量を持てない。光子が厳密に質量ゼロであること、そこから Coulomb 力が$1/r$ の長距離力であることは、$U(1)$ ゲージ不変性の直接の帰結である。

質量項を無理に入れた理論（Proca 理論）がどうなるかは例題 5.1.4 で見る。要点は、質量項はゲージ自由度を消してしまい、物理的な自由度が2から3に増えることである。自然界の弱い相互作用は短距離力であり、その媒介粒子 $W$ と $Z$ は質量を持つ。ゲージ不変性を保ちながら質量を与える仕組み（Higgs 機構）が必要になるのはこのためであるが、本書では扱わない。