非可換ゲージ理論への一歩

場の量子論入門　第5部 第1章 §5.1.6　★ 同じ論法が強い力・弱い力へ拡張される。詳細は第6部と第7部

本章の論法は、位相因子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha(x)}$ を、より大きな群の要素で置き換えても働く。$N$ 成分の場 $\psi_i$（$i=1,\dots,N$）を用意し、変換を $\psi\to U(x)\psi$、$U(x)=\exp[-\mathrm{i}\alpha^a(x)T^a]$（$T^a$ は $SU(N)$ の生成子行列）とすると、共変微分は

$$D_\mu=\partial_{\mu}+\mathrm{i} g A^a_\mu T^a$$

となり、場の強さは行列値の $A_\mu=A^a_\mu T^a$ を使って

$$F_{\mu\nu}=\frac{1}{\mathrm{i} g}\left[D_\mu,\,D_\nu\right]=\partial_{\mu} A_\nu-\partial_{\nu} A_\mu+\mathrm{i} g\left[A_\mu,\,A_\nu\right]$$

となる。例題 5.1.3 で「$U(1)$ では対称だから消えた」と述べた $A_\mu A_\nu$ の項が、行列の非可換性のために交換子として生き残る。この項があるため、運動項 $-\frac12\operatorname{Tr} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ は$A$ の3次と4次の項を含み、ゲージ場どうしが直接相互作用する。光子どうしが直接散乱しない（最低次では）QED との決定的な違いである。強い相互作用の理論（QCD）は $SU(3)$ のゲージ理論であり、このゲージ場の自己相互作用が漸近自由（高エネルギーで結合が弱くなる性質）の起源である（第6部 第4章）。非可換ゲージ理論の量子化では、ゲージ自由度の処理に Faddeev–Popov ゴーストが必要になる（第7部 第5章）。