ゲージの自由度は余分な自由度である

場の量子論入門　第5部 第2章 §5.2.1　★★★ 4成分から2自由度へ。困難の所在を数で押さえる

第1章でゲージ場 $A_\mu$ とその運動項が決まった。次はこれを量子化して、光子という粒子と、その内線が振幅に与える因子（伝播関数）を得る。スカラー場（第2部）やDirac 場（第4部）と違い、電磁場の量子化には固有の困難がある。$A_\mu$ は4成分あるのに、光子の偏極は2つしかない。この食い違いをどう処理するかが本章の中心である。

正準量子化の手続きは、各場の変数に共役運動量を定め、同時刻交換関係を課すことであった。$\mathcal{L}_A=-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ について $A_\mu$ に共役な運動量を計算すると

$$\pi^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}_A}{\partial(\partial_0A_\mu)}=-F^{0\mu}$$

であり（例題 5.2.1）、とくに

$$\pi^0=-F^{00}=0$$

となる。$A_0$ に共役な運動量が恒等的にゼロである、つまり $A_0$ は時間微分を含まない（力学的でない）変数である。$\pi^0$ がゼロなのだから、$\left[A_0,\,\pi^0\right]=\mathrm{i}\delta^3$ のような交換関係を課すことはできない。素朴な正準量子化はここで止まる。

自由度を数え直す。$A_\mu$ の4成分のうち、$A_0$ は上の理由で力学変数ではなく、Gauss の法則 $\nabla\cdot\bm{E}=e\psi^\dagger\psi$ によって他の量から決まってしまう。残る3成分 $\bm{A}$ にはまだゲージ変換 $\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\chi$ の自由度があり、これを固定すると1つ減る。$4-1-1=2$ が物理的な自由度であり、光子の2つのヘリシティ（右回りと左回りの円偏光）に対応する。