光子の伝播関数

$K^{\mu\nu}$ が $\eta^{\mu\nu}$ と $q^\mu q^\nu$ の2つの構造しか含まないので、逆行列も同じ2つで書ける。

$$D_{\nu\rho}=A\,\eta_{\nu\rho}+B\,\frac{q_\nu q_\rho}{q^2}$$

と置く（$A,B$ は $q^2$ の関数）。代入して整理すると

$$K^{\mu\nu}D_{\nu\rho} =-q^2A\,\delta^\mu_{\ \rho}-q^2B\frac{q^\mu q_\rho}{q^2} +\Bigl(1-\frac1\xi\Bigr)\Bigl(A\,q^\mu q_\rho+B\,q^\mu q_\rho\Bigr)$$

となる。ここで $q^\mu q^\nu\eta_{\nu\rho}=q^\mu q_\rho$ と $q^\mu q^\nu q_\nu q_\rho/q^2=q^\mu q_\rho$ を使った。$\delta^\mu_{\ \rho}$ の係数と $q^\mu q_\rho$ の係数を、右辺 $\mathrm{i}\delta^\mu_{\ \rho}$ と比べると

$$-q^2A=\mathrm{i},\qquad -B+\Bigl(1-\frac1\xi\Bigr)(A+B)=0$$

の2式を得る。第1式から $A=-\mathrm{i}/q^2$。第2式は展開すると $-B+A+B-(A+B)/\xi=0$、すなわち$A=(A+B)/\xi$ となり、$B=(\xi-1)A$ が従う。よって

$$D_{\nu\rho}=\frac{-\mathrm{i}}{q^2}\Bigl[\eta_{\nu\rho}+(\xi-1)\frac{q_\nu q_\rho}{q^2}\Bigr] =\frac{-\mathrm{i}}{q^2}\Bigl[\eta_{\nu\rho}-(1-\xi)\frac{q_\nu q_\rho}{q^2}\Bigr]$$

である。$\mathrm{i}\varepsilon$ 処方（因果的な境界条件）はスカラー場と同じ理由で $q^2\to q^2+\mathrm{i}\varepsilon$ と入る（第2部 第4章）。

なお $\xi\to\infty$ ではゲージ固定項が消え、$K^{\mu\nu}$ が $q_\mu$ 方向の零モードを持つために逆行列が存在しなくなる。ゲージ固定なしには伝播関数が定義できない、という事情がここに現れている。$\blacksquare$