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偏極ベクトルと完全性関係

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第5部 第2章 電磁場の量子化

AI 生成・木下が未勉強

場の量子論入門　第5部 第2章 §5.2.5　★★ 外線光子の扱い。偏極和を −ημν-\eta^{\mu\nu} に置き換える根拠

実在する（外線の）光子は質量ゼロで k2=0k^2=0 であり、その偏極ベクトル ϵμ(k)\epsilon_\mu(k) は横波条件 k⋅ϵ=0k\cdot\epsilon=0 と規格化 ϵ⋅ϵ∗=−1\epsilon\cdot\epsilon^*=-1 を満たす。横波条件を満たす4元ベクトルは3つあるが、そのうち ϵμ∝kμ\epsilon_\mu\propto k_\mu のものはゲージ変換で消せる（ϵμ→ϵμ+ckμ\epsilon_\mu\to\epsilon_\mu+ck_\mu が物理を変えないことは次節の Ward 恒等式が保証する）。独立な物理的偏極は2つである。

kμ=(ω,0,0,ω)k^\mu=(\omega,0,0,\omega) に対して ϵ1μ=(0,1,0,0)\epsilon_1^\mu=(0,1,0,0)、ϵ2μ=(0,0,1,0)\epsilon_2^\mu=(0,0,1,0) と取ると、物理的偏極についての和は

∑r=1,2ϵrμϵr∗ν=−ημν+kμnν+nμkνk⋅n,nμ=(ω,0,0,−ω)\sum_{r=1,2}\epsilon^\mu_r\epsilon^{*\nu}_r=-\eta^{\mu\nu}+\frac{k^\mu n^\nu+n^\mu k^\nu}{k\cdot n}, \qquad n^\mu=(\omega,0,0,-\omega)

と書ける（例題 5.2.3）。右辺の第2項は kμk^\mu に比例する部分を含むので、振幅 Mμ\mathcal{M}^\mu が kμMμ=0k_\mu\mathcal{M}^\mu=0 を満たせば ∣M∣2|\mathcal{M}|^2 に寄与しない。したがって

∑pol∣ϵμ∗Mμ∣2=−ημνMμM∗ν\sum_{\rm pol}\bigl|\epsilon^*_\mu\mathcal{M}^\mu\bigr|^2=-\eta_{\mu\nu}\mathcal{M}^\mu\mathcal{M}^{*\nu}

となり、実務では「偏極和は −ημν-\eta^{\mu\nu} に置き換えてよい」と覚える。この置き換えはWard 恒等式が成り立つ場合にだけ正当である。

例題 2.3（偏極ベクトルの完全性関係 ★★）

オリジナルkμ=(ω,0,0,ω)k^\mu=(\omega,0,0,\omega)、nμ=(ω,0,0,−ω)n^\mu=(\omega,0,0,-\omega) とする。∑r=1,2ϵrμϵr∗ν=−ημν+(kμnν+nμkν)/(k⋅n)\sum_{r=1,2}\epsilon^\mu_r\epsilon^{*\nu}_r=-\eta^{\mu\nu}+(k^\mu n^\nu+n^\mu k^\nu)/(k\cdot n) を成分計算で確かめ、Ward 恒等式のもとで偏極和を −ημν-\eta^{\mu\nu} に置き換えてよい理由を述べよ。

解答

まず k⋅n=ω2−(ω)(−ω)=2ω2k\cdot n=\omega^2-(\omega)(-\omega)=2\omega^2 である。左辺は ϵ1,ϵ2\epsilon_1,\epsilon_2 が第1・第2空間成分しか持たないので、(μν)=(11)(\mu\nu)=(11) と (22)(22) が 11、他はすべて 00 である。右辺を成分ごとに確かめる。

  • (μν)=(11)(\mu\nu)=(11)：−η11+0=+1-\eta^{11}+0=+1。一致する。(22)(22) も同様。
  • (μν)=(00)(\mu\nu)=(00)：−η00+2k0n02ω2=−1+2ω22ω2=0-\eta^{00}+\dfrac{2k^0n^0}{2\omega^2}=-1+\dfrac{2\omega^2}{2\omega^2}=0。一致する。
  • (μν)=(33)(\mu\nu)=(33)：−η33+2k3n32ω2=+1+2ω(−ω)2ω2=1−1=0-\eta^{33}+\dfrac{2k^3n^3}{2\omega^2}=+1+\dfrac{2\omega(-\omega)}{2\omega^2}=1-1=0。一致する。
  • (μν)=(03)(\mu\nu)=(03)：−η03+k0n3+n0k32ω2=0+−ω2+ω22ω2=0-\eta^{03}+\dfrac{k^0n^3+n^0k^3}{2\omega^2}=0+\dfrac{-\omega^2+\omega^2}{2\omega^2}=0。一致する。

残りの成分はすべて両辺とも 00 である。よって等式が成り立つ。

置き換えの理由は次のとおりである。外線光子1本を含む振幅を M=ϵμ∗(k)Mμ\mathcal{M}=\epsilon^*_\mu(k)\mathcal{M}^\mu と書くと、偏極和は

∑r∣M∣2=[−ημν+kμnν+nμkνk⋅n]MμM∗ν\sum_{r}|\mathcal{M}|^2=\Bigl[-\eta_{\mu\nu}+\frac{k_\mu n_\nu+n_\mu k_\nu}{k\cdot n}\Bigr]\mathcal{M}^\mu\mathcal{M}^{*\nu}

である。Ward 恒等式 kμMμ=0k_\mu\mathcal{M}^\mu=0（第 5.2.6 節）により、kμk_\mu を含む項は消える。残るのは −ημνMμM∗ν-\eta_{\mu\nu}\mathcal{M}^\mu\mathcal{M}^{*\nu} だけである。nμn^\mu という特定の慣性系に依存したベクトルが最終結果から消えることが、共変性の確認にもなっている。■\blacksquare

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