共変な量子化と Gupta–Bleuler の処方

場の量子論入門　第5部 第2章 §5.2.3　★★ 4成分すべてを量子化し、物理的状態を後から選ぶ

共変性を保つには、$A_\mu$ の4成分すべてを対等に扱えばよい。そのために Lagrangian 密度にゲージ固定項を足す。

$$\mathcal{L}_{\rm gf}=-\frac{1}{2\xi}\bigl(\partial_{\mu} A^\mu\bigr)^2$$

定数 $\xi$ をゲージパラメータと呼び、$\xi=1$ を Feynman ゲージ、$\xi=0$ を Landau ゲージという。この項があると $\partial_0A_0$ が Lagrangian に現れるので $\pi^0\neq0$ となり、正準量子化が動く。代償として、この項自身はゲージ不変でない。

4成分を量子化すると、交換関係は共変性から

$$\left[a^\mu_{\bm{k}},\,a^{\nu\dagger}_{\bm{k}'}\right]=-\eta^{\mu\nu}(2\pi)^3\delta^3(\bm{k}-\bm{k}')$$

の形になる。$\eta^{00}=+1$ なので $\mu=\nu=0$ の成分だけ符号が反転し、$\langle 0 |a^0_{\bm{k}}a^{0\dagger}_{\bm{k}}| 0 \rangle <0$ となる。時間的偏極の光子を1個含む状態のノルムが負になるのである。ノルムが負の状態は確率解釈を壊すので、そのままでは理論にならない。

Gupta–Bleuler の処方は、物理的な状態を$\partial^{\mu} A^{(+)}_\mu| \text{phys} \rangle =0$（$A^{(+)}$ は消滅演算子の部分）という条件で選び出す。この条件を課すと、時間的偏極と縦偏極（運動量方向の偏極）の寄与が、任意のゲージ不変な観測量の期待値の中で必ず打ち消し合う。残るのは横波2成分だけであり、Coulomb ゲージの結果と一致する。条件を満たす状態のうちノルムがゼロのものは「純粋なゲージ」の状態であり、それらを同一視した商空間が物理的 Hilbert 空間になる。

以上の道具立ては、摂動論の実務では次の2点に集約される。第一に、光子の内線には下で求める伝播関数を割り当てる。第二に、外線の光子には物理的な横偏極ベクトルだけを割り当て、偏極和を取るときは Ward 恒等式（第 5.2.6 節）のおかげで$\sum_{\rm pol}\epsilon^\mu\epsilon^{*\nu}\to-\eta^{\mu\nu}$ と置き換えてよい。経路積分による同じ処方（Faddeev–Popov）は第7部 第5章で扱う。