行列の順序とフェルミオンの符号

場の量子論入門　第5部 第3章 §5.3.3　★★★ ここを間違えると符号も添字も合わない。機械的な規則にする

$\gamma$ 行列とスピノルは行列・列ベクトル・行ベクトルなので、並べる順序が意味を持つ。規則は次の1文に尽きる。

たとえば、入射電子 $u(p)$ が頂点で光子を出して出射電子 $\bar u(p')$ になる過程では、$\bar u(p')\,(-\mathrm{i} e\gamma^\mu)\,u(p)$ と書く。頂点が2つあって間に電子内線がある場合は、$\bar u(p')(-\mathrm{i} e\gamma^\nu)\frac{\mathrm{i}(\not k+m)}{k^2-m^2}(-\mathrm{i} e\gamma^\mu)u(p)$ のように、矢印を逆に辿った順に並べる。こうして書かれた式は、行ベクトル×行列×列ベクトルの形になり、1つの数（スピノル添字が縮約された量）になる。

閉じたフェルミオンループでは始点も終点もないので、どこかで切って矢印と逆向きに一周し、最後に $\operatorname{Tr}$ を取る。ループごとに $(-1)$ を掛けるのは、Wick の定理でフェルミオン場を一周分入れ替えるために奇数回の交換が必要になるからである（第4部 第3章）。同じ理由で、外線フェルミオンを入れ替えて得られる2つのダイアグラムの間には相対符号 $(-1)$ が付く。この相対符号は、同種フェルミオンの終状態が反対称化されることの表れである。

図 　2体から2体への散乱で現れる3つのチャネル。内線の運動量の2乗がMandelstam 変数 $s$、$t$、$u$ のどれになるかでダイアグラムを分類する。$s+t+u=\sum_im_i^2$（第3部 第4章）。