振幅を書く手順

最低次では、電子線とミューオン線が光子1本を交換する図が1つだけある。交換される光子の運動量は、電子側の運動量保存から $q=p-p'$ である（ミューオン側から見れば $q=k'-k$ であり、全体の運動量保存 $p+k=p'+k'$ と整合する）。これは $t$ チャネルの図であり、$q^2=(p-p')^2=t$ である。

手順3にしたがって、まず電子線を矢印と逆に辿る。行の始まりは出射電子 $\bar u(p')$、次に頂点 $-\mathrm{i} e\gamma^\mu$、最後に入射電子 $u(p)$ で

$$\bar u(p')\,(-\mathrm{i} e\gamma^\mu)\,u(p).$$

ミューオン線も同様に

$$\bar u(k')\,(-\mathrm{i} e\gamma^\nu)\,u(k)$$

となる。この2本を光子の伝播関数で結ぶと

$$\mathrm{i}\mathcal{M}=\bar u(p')(-\mathrm{i} e\gamma^\mu)u(p)\,\frac{-\mathrm{i}\eta_{\mu\nu}}{q^2}\,\bar u(k')(-\mathrm{i} e\gamma^\nu)u(k)$$

である。$(-\mathrm{i} e)^2(-\mathrm{i})=-\mathrm{i}\,(\mathrm{i} e^2)\cdot$ と整理すると

$$\mathcal{M}=-\frac{e^2}{q^2}\bigl[\bar u(p')\gamma^\mu u(p)\bigr]\bigl[\bar u(k')\gamma_\mu u(k)\bigr]$$

を得る。2つの角括弧はそれぞれ独立にスピノル添字が縮約された数であり、互いの順序は自由に入れ替えてよい。$\gamma^\mu$ と $\gamma_\mu$ の添字だけが両者を結んでいる。

電子とミューオンは別種の粒子なので、終状態の $e^-$ と $\mu^-$ を入れ替えた図は存在しない。同種粒子どうしの散乱（Møller 散乱 $e^-e^-\to e^-e^-$）では、どちらの出射電子がどちらの入射電子から来たかで2つの図があり、それらの間に相対符号 $(-1)$ が付く。$\blacksquare$

外線は運動量 $q$ の光子2本、内部は電子ループである。ループを回る運動量を $\ell$ とすると、2本の電子内線の運動量は $\ell$ と $\ell+q$ である。手順にしたがうと

$$\mathrm{i}\Pi^{\mu\nu}(q)=-\int\!\frac{\mathrm{d}^4 \ell}{(2\pi)^4}\, \operatorname{Tr}\Bigl[(-\mathrm{i} e\gamma^\mu)\frac{\mathrm{i}(\not\ell+m)}{\ell^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon} (-\mathrm{i} e\gamma^\nu)\frac{\mathrm{i}(\not\ell+\not q+m)}{(\ell+q)^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}\Bigr]$$

となる。整理すれば $\mathrm{i}\Pi^{\mu\nu}(q)=-(\mathrm{i} e)^2\int\frac{\mathrm{d}^4 \ell}{(2\pi)^4}\operatorname{Tr}[\cdots]$ の形である。

$\operatorname{Tr}$ が現れる理由は次のとおりである。フェルミオン線を矢印と逆に辿ると、閉じたループでは出発点に戻ってくる。行の始まりと終わりのスピノル添字が同じものになるので、$\sum_a(M)_{aa}=\operatorname{Tr} M$ という形の縮約になる。

$(-1)$ が現れる理由は、Wick の定理でフェルミオン場を並べ替えるときの符号である。ループを作る縮約では $\psi$ と $\bar\psi$ を一周させる必要があり、そのためにフェルミオン場を奇数回入れ替える。反交換関係のためにそのつど $(-1)$ が出て、全体として $(-1)$ が1つ残る。ループが2つあれば $(+1)$ である。

この積分は発散するので、正則化とくりこみが必要になる（第6部 第1章、第2章）。Ward 恒等式は $q_\mu\Pi^{\mu\nu}=0$ を要求し、これが正則化の仕方を選ぶ基準になる。$\blacksquare$