振幅を書く

場の量子論入門　第5部 第4章 §5.4.1　★★ 手順どおりに1行で書ける

$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ は QED でもっとも見通しよく最後まで計算できる過程である。最低次のダイアグラムが1つしかなく、電子とミューオンが別種の粒子なので交換図がない。それでいて、スピン和・トレース技法・運動学・断面積という QED 計算の全工程が一度に現れる。本章は途中式を省かない。実験的にも、電子・陽電子衝突型加速器で測られる基本過程であり、ハドロン生成断面積との比（$R$ 比）を通じてクォークが3色を持つことの証拠を与える。

図 　$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ の最低次ダイアグラム。電子と陽電子が対消滅して仮想光子（$q^2=s>0$ なので質量殻から外れている）になり、ミューオン対を生む。$s$ チャネルである。

第3章の手順にしたがう。入射電子を $u(p)$、入射陽電子を $\bar v(p')$、出射ミューオンを $\bar u(k)$、出射反ミューオンを $v(k')$ とする。電子側のフェルミオン線を矢印と逆に辿ると、行は $\bar v(p')$ で始まり $u(p)$ で終わる。ミューオン側は $\bar u(k)$ で始まり $v(k')$ で終わる。仮想光子の運動量は $q=p+p'$ であり、$q^2=(p+p')^2=s$（重心系エネルギーの2乗）である。したがって

$$\mathrm{i}\mathcal{M}=\bar v(p')(-\mathrm{i} e\gamma^\mu)u(p)\ \frac{-\mathrm{i}\eta_{\mu\nu}}{q^2}\ \bar u(k)(-\mathrm{i} e\gamma^\nu)v(k')$$

であり、因子を整理すると

$$\boxed{\ \mathcal{M}=\frac{e^2}{s}\bigl[\bar v(p')\gamma^\mu u(p)\bigr]\bigl[\bar u(k)\gamma_\mu v(k')\bigr]\ }$$

となる。以下、電子の質量は無視する（$\sqrt s\gg m_e$ を仮定する。数 GeV 以上の重心系エネルギーでは$m_e=0.511\,$MeV は十分小さい）。ミューオンの質量 $m$ は当面残しておき、最後に高エネルギー極限を取る。