スピン和と平均

場の量子論入門　第5部 第4章 §5.4.2　★★ $|\mathcal{M}|^2$ を2つのトレースの積に変える

実験では、始状態のスピンは（偏極していない限り）どの向きも等確率で現れ、終状態のスピンは測らないことが多い。そこで始状態のスピンについて平均し、終状態のスピンについて和を取った量

$$\overline{|\mathcal{M}|^2}=\frac14\sum_{s,s'}\sum_{r,r'}|\mathcal{M}|^2$$

を計算する。$1/4$ は電子2状態と陽電子2状態の平均である。

$|\mathcal{M}|^2=\mathcal{M}\mathcal{M}^*$ を書くために、複素共役の取り方を整理しておく。$\bigl[\bar v(p')\gamma^\mu u(p)\bigr]$ は1つの複素数であり、その複素共役は

$$\bigl[\bar v\gamma^\mu u\bigr]^*=\bigl[\bar v\gamma^\mu u\bigr]^\dagger =u^\dagger\gamma^{\mu\dagger}\gamma^{0\dagger}v=u^\dagger\gamma^0\gamma^\mu v=\bar u\gamma^\mu v$$

である。途中で $\gamma^{0\dagger}=\gamma^0$、$(\gamma^0)^2=1$、$\gamma^{\mu\dagger}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0$ を使った。この関係は「スピノル挟みの複素共役は左右を入れ替えるだけ」と覚えてよい。

これを使うと

$$\overline{|\mathcal{M}|^2}=\frac{e^4}{4s^2} \underbrace{\sum_{s,s'}\bigl[\bar v(p')\gamma^\mu u(p)\bigr]\bigl[\bar u(p)\gamma^\nu v(p')\bigr]}_{\displaystyle \equiv A^{\mu\nu}\ \text{（電子側）}} \underbrace{\sum_{r,r'}\bigl[\bar u(k)\gamma_\mu v(k')\bigr]\bigl[\bar v(k')\gamma_\nu u(k)\bigr]}_{\displaystyle \equiv B_{\mu\nu}\ \text{（ミューオン側）}}$$

と、電子側とミューオン側の2つの因子に分かれる。それぞれをスピノルの完全性関係

$$\sum_su^s(p)\bar u^s(p)=\not p+m,\qquad \sum_sv^s(p)\bar v^s(p)=\not p-m$$

（第4部 第2章）を使って行列のトレースに直す。スピノル添字を明示して並べ替えると、それぞれが1本の行列の積の対角和になるからである。電子側は $m_e\to0$ として

$$A^{\mu\nu}=\operatorname{Tr}\bigl[\not p'\gamma^\mu\not p\,\gamma^\nu\bigr], \qquad B_{\mu\nu}=\operatorname{Tr}\bigl[(\not k+m)\gamma_\mu(\not k'-m)\gamma_\nu\bigr]$$

となる。スピン和がトレースに化けるこの一手が、Dirac 場の計算を機械的にする鍵である。