トレース技法

$\not p=p_\alpha\gamma^\alpha$ と書いて添字を外に出す。

$$A^{\mu\nu}=p'_\alpha p_\beta\,\operatorname{Tr}\bigl[\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\beta\gamma^\nu\bigr] =4p'_\alpha p_\beta\bigl(\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}-\eta^{\alpha\beta}\eta^{\mu\nu}+\eta^{\alpha\nu}\eta^{\mu\beta}\bigr).$$

各項で添字を縮約すると

$$\boxed{\ A^{\mu\nu}=4\bigl(p'^\mu p^\nu+p'^\nu p^\mu-\eta^{\mu\nu}(p\cdot p')\bigr)\ }$$

を得る。$\mu\nu$ について対称であること、$\eta_{\mu\nu}A^{\mu\nu}=4(2p\cdot p'-4p\cdot p')=-8p\cdot p'$となることを確かめておくと、後の縮約の検算に使える。$\blacksquare$

(1) 展開すると4つの項が出るが、$\gamma$ 行列を奇数個含む項は消える。残るのは $\not k$ と $\not k'$ の両方を含む項と、$m\times(-m)$ の項である。

$$B_{\mu\nu}=\operatorname{Tr}[\not k\gamma_\mu\not k'\gamma_\nu]-m^2\operatorname{Tr}[\gamma_\mu\gamma_\nu] =4\bigl(k_\mu k'_\nu+k_\nu k'_\mu-\eta_{\mu\nu}(k\cdot k')\bigr)-4m^2\eta_{\mu\nu}.$$

まとめると

$$\boxed{\ B_{\mu\nu}=4\bigl(k_\mu k'_\nu+k_\nu k'_\mu-\eta_{\mu\nu}\bigl(k\cdot k'+m^2\bigr)\bigr)\ }$$

である。電子側の式で $m_e\to0$ としたものと同じ形をしており、質量は $k\cdot k'$ に $m^2$ を足す形でだけ入る。

(2) 縮約 $A^{\mu\nu}B_{\mu\nu}$ を項ごとに実行する。$A^{\mu\nu}=4(p'^\mu p^\nu+p'^\nu p^\mu-\eta^{\mu\nu}(p\cdot p'))$、$B_{\mu\nu}=4(k_\mu k'_\nu+k_\nu k'_\mu-\eta_{\mu\nu}X)$、$X\equiv k\cdot k'+m^2$ と略記すると、$4\times4=16$ を外に出して9項が出る。

$$\begin{aligned}p'^\mu p^\nu\cdot k_\mu k'_\nu&=(p'\cdot k)(p\cdot k'), & p'^\mu p^\nu\cdot k_\nu k'_\mu&=(p'\cdot k')(p\cdot k),\\ p'^\nu p^\mu\cdot k_\mu k'_\nu&=(p\cdot k)(p'\cdot k'), & p'^\nu p^\mu\cdot k_\nu k'_\mu&=(p'\cdot k)(p\cdot k'),\\ p'^\mu p^\nu\cdot(-\eta_{\mu\nu}X)&=-(p\cdot p')X, & p'^\nu p^\mu\cdot(-\eta_{\mu\nu}X)&=-(p\cdot p')X,\\ -\eta^{\mu\nu}(p\cdot p')\cdot k_\mu k'_\nu&=-(p\cdot p')(k\cdot k'), & -\eta^{\mu\nu}(p\cdot p')\cdot k_\nu k'_\mu&=-(p\cdot p')(k\cdot k'),\\ (-\eta^{\mu\nu})(-\eta_{\mu\nu})(p\cdot p')X&=4(p\cdot p')X. &&\end{aligned}$$

最後の項で $\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}=4$（4次元時空）を使った。すべて足すと、$(p\cdot p')$ に比例する項は

$$-2X-2(k\cdot k')+4X=2X-2(k\cdot k')=2m^2$$

となり（$X=k\cdot k'+m^2$ を代入した）、$k\cdot k'$ が相殺して $m^2$ だけが残る。したがって

$$A^{\mu\nu}B_{\mu\nu} =16\cdot2\bigl[(p\cdot k)(p'\cdot k')+(p\cdot k')(p'\cdot k)+m^2(p\cdot p')\bigr] =32\bigl[(p\cdot k)(p'\cdot k')+(p\cdot k')(p'\cdot k)+m^2(p\cdot p')\bigr].$$

これを $\overline{|\mathcal{M}|^2}=\dfrac{e^4}{4s^2}A^{\mu\nu}B_{\mu\nu}$ に代入して

$$\boxed{\ \overline{|\mathcal{M}|^2}=\frac{8e^4}{s^2}\bigl[(p\cdot k)(p'\cdot k')+(p\cdot k')(p'\cdot k)+m^2(p\cdot p')\bigr]\ }$$

を得る。ここまでで Lorentz 不変な内積だけの式になっており、どの慣性系で評価してもよい。$\blacksquare$