運動学と微分断面積

場の量子論入門　第5部 第4章 §5.4.4　★★ 内積を重心系の角度で書き直す

重心系を取る。$z$ 軸を入射方向に選び、散乱角を $\theta$ として

$$p=(E,0,0,E),\quad p'=(E,0,0,-E),\quad k=(E,\kappa\sin\theta,0,\kappa\cos\theta),\quad k'=(E,-\kappa\sin\theta,0,-\kappa\cos\theta)$$

とする。ここで $\kappa=|\bm{k}|=\sqrt{E^2-m^2}$ であり、$s=4E^2$ である。内積は

$$p\cdot p'=2E^2=\frac s2,\qquad p\cdot k=E^2-E\kappa\cos\theta,\qquad p\cdot k'=E^2+E\kappa\cos\theta$$

であり、$p'\cdot k=E^2+E\kappa\cos\theta$、$p'\cdot k'=E^2-E\kappa\cos\theta$ である（$p'$ は $p$ の空間成分を反転したものなので、$\cos\theta$ の符号が入れ替わる）。したがって

$$(p\cdot k)(p'\cdot k')+(p\cdot k')(p'\cdot k) =\bigl(E^2-E\kappa\cos\theta\bigr)^2+\bigl(E^2+E\kappa\cos\theta\bigr)^2 =2E^4+2E^2\kappa^2\cos^2\theta$$

となり、$m^2(p\cdot p')=2E^2m^2$ と合わせて

$$\overline{|\mathcal{M}|^2}=\frac{8e^4}{s^2}\cdot2E^2\bigl(E^2+\kappa^2\cos^2\theta+m^2\bigr) =e^4\Bigl(1+\beta^2\cos^2\theta+\frac{m^2}{E^2}\Bigr)$$

を得る。ここで $\beta=\kappa/E$（ミューオンの速さ）とし、$s^2=16E^4$ を使った。$m^2/E^2=1-\beta^2$ を代入すると

$$\overline{|\mathcal{M}|^2}=e^4\bigl(2-\beta^2\sin^2\theta\bigr)$$

とも書ける。断面積の公式に入れる。$|\bm{k}_f|/|\bm{k}_i|=\kappa/E=\beta$ だから

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{\beta}{64\pi^2s}\,\overline{|\mathcal{M}|^2} =\frac{\alpha^2}{4s}\beta\bigl(2-\beta^2\sin^2\theta\bigr)$$

である（$e^4=(4\pi\alpha)^2=16\pi^2\alpha^2$ を使った）。しきい値 $\sqrt s=2m$ の直上では$\beta\to0$ で断面積が消え、角度分布は等方（$\beta^2$ の項が落ちる）になる。

高エネルギー極限 $\sqrt s\gg m$ では $\beta\to1$ となり

$$\boxed{\ \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{\alpha^2}{4s}\bigl(1+\cos^2\theta\bigr)\ }$$

となる（$2-\sin^2\theta=1+\cos^2\theta$）。角度について積分すると

$$\sigma=\frac{\alpha^2}{4s}\int\bigl(1+\cos^2\theta\bigr)\mathrm{d}\Omega =\frac{\alpha^2}{4s}\cdot2\pi\int_{-1}^{1}\bigl(1+c^2\bigr)\mathrm{d} c =\frac{\alpha^2}{4s}\cdot2\pi\cdot\frac83$$

すなわち

$$\boxed{\ \sigma\bigl(e^+e^-\to\mu^+\mu^-\bigr)=\frac{4\pi\alpha^2}{3s}\ }$$

である（検算 検算スクリプト）。断面積が $1/s$ で減るのは次元解析の帰結である。$\hbar=c=1$ の自然単位では断面積の次元は（長さ）$^2$＝（質量）$^{-2}$ であり、高エネルギー極限では質量の次元を持つ量が $\sqrt s$ しかないので、$\sigma\propto\alpha^2/s$ 以外にありえない。角度分布の $1+\cos^2\theta$ は、スピン $1/2$ の粒子が仮想光子（スピン1）を通じて対生成されることの反映であり、$\theta$ と $\pi-\theta$ について対称である。