$R$ 比とクォークの色

場の量子論入門　第5部 第4章 §5.4.5　★★ 同じ計算がクォーク対生成に流用でき、色数3の証拠になる

$e^+e^-$ が仮想光子を経て生む終状態は、ミューオン対だけではない。電荷 $q_f$（単位は素電荷）を持つどんな点状のスピン $1/2$ 粒子の対も同じ形の式で作られ、唯一の違いは頂点の結合定数が$e\to q_fe$ になることである。したがって高エネルギー極限では

$$\sigma\bigl(e^+e^-\to f\bar f\bigr)=q_f^2\cdot\frac{4\pi\alpha^2}{3s}$$

となる。クォークは電荷 $q_f$ を持ち、さらに色（color）という3値の内部自由度を持つ。色は光子と結合しないので断面積の形を変えないが、終状態の数を3倍にする。生成されたクォーク対は必ずハドロンに変わる（クォークは単独で取り出せない）ので、ハドロン生成の全断面積はクォーク対生成の断面積の総和に等しい。そこで比

$$R\equiv\frac{\sigma(e^+e^-\to\text{ハドロン})}{\sigma(e^+e^-\to\mu^+\mu^-)}=N_c\sum_fq_f^2$$

を測れば、色の数 $N_c$ が直接読める。$\sqrt s$ が $u,d,s,c,b$ の5フレーバーを生成できる領域では

$$\sum_fq_f^2=\Bigl(\frac23\Bigr)^2+\Bigl(\frac13\Bigr)^2+\Bigl(\frac13\Bigr)^2+\Bigl(\frac23\Bigr)^2+\Bigl(\frac13\Bigr)^2 =\frac{11}{9}$$

であり、$N_c=3$ なら

$$\boxed{\ R=3\sum_fq_f^2=\frac{11}{3}\ }$$

となる（検算 検算スクリプト）。色が無ければ $R=11/9$ で、3倍の違いがある。実測は $11/3$ の側に一致し（共鳴の山を避けた領域で）、これがクォークが3色を持つことのもっとも直接的な証拠の1つである。$R$ の値が $\sqrt s$ の増加とともに階段状に上がることは、新しいフレーバーのしきい値を越えたことを示す。