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2つのダイアグラムと振幅

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第5部 第5章 Compton 散乱

AI 生成・木下が未勉強

場の量子論入門　第5部 第5章 §5.5.1　★★ 内線の分母が 2p⋅k2p\cdot k と −2p⋅k′-2p\cdot k' になる

Compton 散乱 γ(k)+e−(p)→γ(k′)+e−(p′)\gamma(k)+e^-(p)\to\gamma(k')+e^-(p') は、外線に実光子を含む最初の例である。第4章と違って最低次のダイアグラムが2つあり、どちらか一方だけでは Ward 恒等式が成り立たない。2つを足してはじめてゲージ不変になるという構造を、本章で実際に確かめる。結果は Klein–Nishina の公式であり、低エネルギー極限で古典電磁気学の Thomson 散乱に一致する。

図

図 　Compton 散乱の最低次ダイアグラム2つ。(a) は電子が先に入射光子を吸収する図（内線の運動量 p+kp+k）で、(b) は電子が先に終状態の光子を放出する図（内線の運動量 p−k′p-k'）である。どちらも同じ次数であり、両方を足さなければならない。

図 (a) では、電子が入射光子を吸収して運動量 p+kp+k の仮想電子になり、その後 k′k' の光子を放出する。図 (b) では、先に k′k' の光子を放出して運動量 p−k′p-k' の仮想電子になり、その後 kk の光子を吸収する。手順にしたがって書き下すと

iM=uˉ(p′)[(−ieγν)i(p̸+k̸+m)(p+k)2−m2(−ieγμ)+(−ieγμ)i(p̸−̸k′+m)(p−k′)2−m2(−ieγν)]u(p) ϵμ(k)ϵν∗(k′)\mathrm{i}\mathcal{M}=\bar u(p')\Bigl[(-\mathrm{i} e\gamma^\nu)\frac{\mathrm{i}(\not p+\not k+m)}{(p+k)^2-m^2}(-\mathrm{i} e\gamma^\mu) +(-\mathrm{i} e\gamma^\mu)\frac{\mathrm{i}(\not p-\not k'+m)}{(p-k')^2-m^2}(-\mathrm{i} e\gamma^\nu)\Bigr]u(p)\, \epsilon_\mu(k)\epsilon^*_\nu(k')

である。分母は、p2=m2p^2=m^2 と k2=k′2=0k^2=k'^2=0 を使って

(p+k)2−m2=2p⋅k,(p−k′)2−m2=−2p⋅k′(p+k)^2-m^2=2p\cdot k,\qquad (p-k')^2-m^2=-2p\cdot k'

と簡単になる。因子を整理して

 M=−e2 ϵμ(k)ϵν∗(k′) uˉ(p′)[γν(p̸+k̸+m)γμ2p⋅k−γμ(p̸−̸k′+m)γν2p⋅k′]u(p) \boxed{\ \mathcal{M}=-e^2\,\epsilon_\mu(k)\epsilon^*_\nu(k')\,\bar u(p') \Bigl[\frac{\gamma^\nu(\not p+\not k+m)\gamma^\mu}{2p\cdot k} -\frac{\gamma^\mu(\not p-\not k'+m)\gamma^\nu}{2p\cdot k'}\Bigr]u(p)\ }

を得る。第1項が ss チャネル（(p+k)2=s(p+k)^2=s）、第2項が uu チャネル（(p−k′)2=u(p-k')^2=u）である。tt チャネルの図が無いのは、光子2本と電子2本を結ぶのに γγ→γγ\gamma\gamma\to\gamma\gamma の頂点がQED に存在しないからである。

例題 5.1（Compton 波長シフト ★★）

オリジナル実験室系（入射前の電子が静止）で、散乱光子のエネルギー ω′\omega' が入射光子のエネルギー ω\omega と散乱角 θ\theta でどう決まるかを求めよ。

解答

運動量保存 p+k=p′+k′p+k=p'+k' を、測らない量 p′p' を消す向きに使う。p′=p+k−k′p'=p+k-k' の両辺を2乗すると

m2=p′2=(p+k−k′)2=p2+k2+k′2+2p⋅k−2p⋅k′−2k⋅k′m^2=p'^2=(p+k-k')^2=p^2+k^2+k'^2+2p\cdot k-2p\cdot k'-2k\cdot k'

であり、p2=m2p^2=m^2、k2=k′2=0k^2=k'^2=0 を使うと

p⋅k−p⋅k′−k⋅k′=0.p\cdot k-p\cdot k'-k\cdot k'=0 .

実験室系では p=(m,0)p=(m,\bm{0}) なので p⋅k=mωp\cdot k=m\omega、p⋅k′=mω′p\cdot k'=m\omega' である。また k⋅k′=ωω′(1−cos⁡θ)k\cdot k'=\omega\omega'(1-\cos\theta)（θ\theta は2本の光子のなす角）だから

mω−mω′=ωω′(1−cos⁡θ).m\omega-m\omega'=\omega\omega'(1-\cos\theta).

両辺を mωω′m\omega\omega' で割ると

 1ω′−1ω=1−cos⁡θm \boxed{\ \frac{1}{\omega'}-\frac{1}{\omega}=\frac{1-\cos\theta}{m}\ }

を得る。波長で書けば λ′−λ=2πm(1−cos⁡θ)\lambda'-\lambda=\frac{2\pi}{m}(1-\cos\theta) であり、2π/m2\pi/m が電子の Compton 波長（3.862×10−133.862\times10^{-13} m）である。散乱光子は必ずエネルギーを失い（ω′≤ω\omega'\le\omega）、前方（θ=0\theta=0）では損失がない。この関係は運動学だけから出ており、相互作用の詳細（QED であること）を使っていない。■\blacksquare

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