Ward 恒等式による検算

$\epsilon_\mu(k)\to k_\mu$ と置き換える。使う関係は、質量殻上の条件$(\not p-m)u(p)=0$、$\bar u(p')(\not p'-m)=0$、$k^2=0$、運動量保存 $p+k=p'+k'$、および $\left\{\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\right\}=2\eta^{\mu\nu}$ から従う$\not a\not b=-\not b\not a+2(a\cdot b)$ である。

第1項（$s$ チャネル）の分子は $\gamma^\nu(\not p+\not k+m)\not k\,u(p)$ になる。$(\not p-m)u(p)=0$ より $\not k\,u=(\not k+\not p-m)u$ と書き換えられるから

$$(\not p+\not k+m)\not k\,u=(\not p+\not k+m)(\not p+\not k-m)u =\bigl[(p+k)^2-m^2\bigr]u=(2p\cdot k)\,u .$$

途中で $(\not a+m)(\not a-m)=a^2-m^2$（$\not a\not a=a^2$）を使った。分母の $2p\cdot k$ と約せて、第1項は $\bar u(p')\gamma^\nu u(p)$ になる。

第2項（$u$ チャネル）の分子は $\not k(\not p-\not k'+m)\gamma^\nu$ である。今度は $\bar u(p')$ が左にあるので、左側の質量殻条件を使いたい。運動量保存から $p-k'=p'-k$ なので、まず

$$\not k(\not p-\not k'+m)=\not k(\not p'-\not k+m)$$

と書き換える。$\not k\not p'=-\not p'\not k+2(p'\cdot k)$ と $\not k\not k=k^2=0$ を使うと

$$\not k(\not p'-\not k+m)=-\not p'\not k+2(p'\cdot k)+m\not k =-(\not p'-m)\not k+2(p'\cdot k).$$

これを $\bar u(p')$ に左から掛けると、$\bar u(p')(\not p'-m)=0$ より第1項が消え、$2(p'\cdot k)\,\bar u(p')\gamma^\nu u(p)$ が残る。分母は $-2p\cdot k'$ であるが、$(p-k')^2=(p'-k)^2$ から $p\cdot k'=p'\cdot k$ なので、第2項は $-\bar u(p')\gamma^\nu u(p)$ になる。

和を取ると

$$k_\mu\mathcal{M}^{\mu\nu}\propto\bar u(p')\gamma^\nu u(p)-\bar u(p')\gamma^\nu u(p)=0$$

である。個々の項は $\pm\bar u(p')\gamma^\nu u(p)\neq0$ であり、2つを足してはじめて消える。片方のダイアグラムを書き忘れると、この検算がゼロにならないので誤りが分かる。$\epsilon^*_\nu(k')\to k'_\nu$ の置き換えについても、同じ手順（今度は $k'$ 側の質量殻条件を使う）でゼロになることが示せる。$\blacksquare$