Klein–Nishina の公式

場の量子論入門　第5部 第5章 §5.5.3　★★ スピン和の結果と、実験室系での断面積

スピンと偏極について平均・和を取る計算は、第4章と同じ手順（スピン和をトレースに直し、トレース公式で展開する）で進む。ただし振幅が2項あるので、$|\mathcal{M}|^2$ には交差項が現れ、最大で8個の $\gamma$ 行列を含むトレースが必要になる。計算は長いが機械的であり、結果は次のようにまとまる。

$$\overline{|\mathcal{M}|^2}=2e^4\Bigl[\frac{p\cdot k'}{p\cdot k}+\frac{p\cdot k}{p\cdot k'} +2m^2\Bigl(\frac{1}{p\cdot k}-\frac{1}{p\cdot k'}\Bigr) +m^4\Bigl(\frac{1}{p\cdot k}-\frac{1}{p\cdot k'}\Bigr)^2\Bigr]$$

（電子スピンについて始状態は平均・終状態は和、光子偏極について始状態は平均・終状態は和を取った量）。4つの項の構造を読んでおく。第1・第2項は $s$ チャネルと $u$ チャネルの分母の比であり、質量ゼロの極限でも残る。第3・第4項は電子質量による補正であり、$1/(p\cdot k)-1/(p\cdot k')$ という組み合わせでしか入らない。

実験室系（入射前の電子が静止）で書き直す。$p\cdot k=m\omega$、$p\cdot k'=m\omega'$ であり、前節の Compton 関係 $1/\omega'-1/\omega=(1-\cos\theta)/m$ を使うと

$$\frac{1}{p\cdot k}-\frac{1}{p\cdot k'}=\frac1m\Bigl(\frac1\omega-\frac1{\omega'}\Bigr)=-\frac{1-\cos\theta}{m^2}$$

となる。これを代入すると、質量補正の2項は

$$-2(1-\cos\theta)+(1-\cos\theta)^2=(1-\cos\theta)\bigl[(1-\cos\theta)-2\bigr]=-\bigl(1-\cos^2\theta\bigr)=-\sin^2\theta$$

とまとまり

$$\overline{|\mathcal{M}|^2}=2e^4\Bigl[\frac{\omega'}{\omega}+\frac{\omega}{\omega'}-\sin^2\theta\Bigr]$$

という簡潔な形になる。実験室系での2体散乱の断面積は

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{1}{64\pi^2m^2}\Bigl(\frac{\omega'}{\omega}\Bigr)^2\overline{|\mathcal{M}|^2}$$

であり（第3部 第5章の一般公式を、標的静止・光子入射の場合に書き下したもの。$(\omega'/\omega)^2$ は終状態の位相空間を立体角で書き直すときの Jacobi 因子である）、代入するとKlein–Nishina の公式

$$\boxed{\ \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{\alpha^2}{2m^2}\Bigl(\frac{\omega'}{\omega}\Bigr)^2 \Bigl[\frac{\omega'}{\omega}+\frac{\omega}{\omega'}-\sin^2\theta\Bigr], \qquad \frac{\omega'}{\omega}=\frac{1}{1+(\omega/m)(1-\cos\theta)}\ }$$

を得る。$\omega/m$ が大きくなるほど $\omega'/\omega$ が小さくなり、前方（$\theta$ 小）に散乱が集中する。全断面積も $\omega$ の増大とともに減少する。