Thomson 極限と古典電磁気学との対応

場の量子論入門　第5部 第5章 §5.5.4　★★ 低エネルギー極限で古典論に一致する。数値まで確かめる

$\omega\ll m$ では $\omega'/\omega\to1$ となり、Klein–Nishina は

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}\ \longrightarrow\ \frac{\alpha^2}{2m^2}\bigl(2-\sin^2\theta\bigr) =\frac{\alpha^2}{2m^2}\bigl(1+\cos^2\theta\bigr)$$

になる。立体角で積分すると

$$\boxed{\ \sigma_{\rm T}=\frac{8\pi\alpha^2}{3m^2}=6.652\times10^{-25}\,\mathrm{cm}^2\ }$$

であり（検算 検算スクリプト。Klein–Nishina を $\omega\to0$ で数値積分した値と$10^{-4}$ 以内で一致する）、これがThomson 断面積である。$0.665$ バーンにあたる。

この値は古典電磁気学でも得られる。振動する電場 $\bm{E}$ の中に置かれた自由電子は$\ddot{\bm{r}}=(-e/m)\bm{E}$ で加速され、加速度を持つ電荷は Larmor の公式にしたがって放射する。入射エネルギー流束で割ると $\sigma=\frac{8\pi}{3}r_e^2$ が出る。ここで

$$r_e=\frac{\alpha}{m}=2.818\ \mathrm{fm}$$

は古典電子半径である（検算済み）。実際 $\frac{8\pi}{3}r_e^2=\frac{8\pi}{3}\frac{\alpha^2}{m^2}$ で上の式と一致する。角度分布 $1+\cos^2\theta$ も、無偏光の入射光に対する双極子放射の角度分布そのものである。量子論が古典論を再現するのは、光子1個のエネルギー $\omega$ が電子の静止質量 $m$ に比べて無視できて、電子の反跳（Compton シフト）が無視できる領域だからである。

$\omega$ が $m$ に近づくと Klein–Nishina は Thomson から下にずれる。この差は実測されており、QED の初期の検証の1つになった。