Mott の公式

まずスピン和を取る。始状態の電子スピンを平均、終状態を和として

$$\frac12\sum_{s,s'}\bigl|\bar u(p')\gamma^0u(p)\bigr|^2 =\frac12\operatorname{Tr}\bigl[(\not p'+m)\gamma^0(\not p+m)\gamma^0\bigr]$$

である。$\gamma$ 行列を奇数個含む項は消えるので

$$\operatorname{Tr}\bigl[\not p'\gamma^0\not p\gamma^0\bigr]+m^2\operatorname{Tr}\bigl[\gamma^0\gamma^0\bigr] =4\bigl(2p'^0p^0-p\cdot p'\bigr)+4m^2 .$$

第1項ではトレース公式 $\operatorname{Tr}[\gamma^\alpha\gamma^0\gamma^\beta\gamma^0] =4(\eta^{\alpha0}\eta^{\beta0}-\eta^{\alpha\beta}\eta^{00}+\eta^{\alpha0}\eta^{0\beta})$ を使った。弾性散乱なので $p^0=p'^0=E$、$|\bm{p}'|=|\bm{p}|$ であり、$p\cdot p'=E^2-|\bm{p}|^2\cos\theta$ だから

$$2E^2-p\cdot p'+m^2=E^2+m^2+|\bm{p}|^2\cos\theta =2E^2-|\bm{p}|^2\bigl(1-\cos\theta\bigr)=2E^2\Bigl(1-\beta^2\sin^2\frac\theta2\Bigr)$$

となる（$E^2=|\bm{p}|^2+m^2$、$1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)$、$\beta=|\bm{p}|/E$ を使った）。よって

$$\frac12\sum\bigl|\bar u\gamma^0u\bigr|^2=\frac12\cdot4\cdot2E^2\Bigl(1-\beta^2\sin^2\frac\theta2\Bigr) =4E^2\Bigl(1-\beta^2\sin^2\frac\theta2\Bigr).$$

これに外場の因子を掛ける。$\overline{|\mathcal{M}|^2}=e^2\bigl(\tilde A^0\bigr)^2\times4E^2(1-\beta^2\sin^2(\theta/2))$であり、$\tilde A^0=Ze/|\bm{q}|^2$、$|\bm{q}|^2=4|\bm{p}|^2\sin^2(\theta/2)$（弾性散乱の運動学）だから

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{1}{16\pi^2}\cdot\frac{Z^2e^4}{|\bm{q}|^4}\cdot4E^2 \Bigl(1-\beta^2\sin^2\frac\theta2\Bigr) =\frac{Z^2\alpha^2E^2}{4|\bm{p}|^4\sin^4(\theta/2)}\Bigl(1-\beta^2\sin^2\frac\theta2\Bigr)$$

となる（$e^4=16\pi^2\alpha^2$ を使った）。$|\bm{p}|=\beta E$ を使って $E^2/|\bm{p}|^4=1/(|\bm{p}|^2\beta^2)$ と書けば

$$\boxed{\ \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}\bigg|_{\rm Mott} =\frac{Z^2\alpha^2}{4|\bm{p}|^2\beta^2\sin^4(\theta/2)}\Bigl(1-\beta^2\sin^2\frac\theta2\Bigr)\ }$$

を得る。$\blacksquare$