Rutherford 極限とスピン因子の意味

場の量子論入門　第5部 第6章 §5.6.3　★★ 非相対論極限で古典公式に戻る。高速では後方散乱が抑制される

$\beta\to0$（非相対論的な電子）では括弧の中が1になり、$|\bm{p}|=m\beta$ として

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}\ \longrightarrow\ \frac{Z^2\alpha^2}{4m^2\beta^4\sin^4(\theta/2)} =\frac{Z^2\alpha^2}{16E_{\rm kin}^2\sin^4(\theta/2)}$$

となる（$E_{\rm kin}=\frac12m\beta^2$）。これは Rutherford の散乱公式そのものであり、$1/\sin^4(\theta/2)$ という特徴的な角度依存性を持つ（検算 検算スクリプト）。Rutherford が金箔での $\alpha$ 粒子散乱から原子核の存在を結論した実験の理論式が、QED の外場近似の非相対論極限として再現された。前方（$\theta\to0$）で発散するのはCoulomb 力が長距離であることの表れであり、遮蔽（例題 5.6.1 の $\mu$）を入れれば有限になる。

スピンの効果は因子 $1-\beta^2\sin^2(\theta/2)$ に集約される。この因子は$\theta$ が大きいほど、また $\beta$ が1に近いほど断面積を減らす。極限 $\beta\to1$ では

$$1-\sin^2\frac\theta2=\cos^2\frac\theta2$$

となり、真後ろ（$\theta=\pi$）への散乱が完全に禁止される。理由はヘリシティの保存である。質量ゼロの極限では電子のヘリシティ（運動量方向へのスピン射影）が相互作用で保存される。スピンを持たない静的な Coulomb 場はスピンの向きを変えられないので、電子のスピンの向きは散乱の前後で変わらない。真後ろに跳ね返る場合、運動量の向きが逆転するのにスピンの向きが変わらないなら、ヘリシティが反転してしまう。これは許されないので、後方散乱の振幅がゼロになる。質量 $m$ が有限だとヘリシティは厳密には保存せず、$1-\beta^2$ の分だけ後方散乱が復活する。この構造が因子 $1-\beta^2\sin^2(\theta/2)$ の中身である。