形状因子と原子核の大きさ

場の量子論入門　第5部 第6章 §5.6.4　★ 点電荷からのずれが構造を教える。電子散乱実験の原理

ここまでは原子核を点電荷として扱った。実際の原子核は有限の広がりを持ち、電荷密度 $\rho(\bm{x})$（$\int\rho\,\mathrm{d}^3x=Ze$）で表される。外場の Fourier 変換は

$$\tilde A^0(\bm{q})=\frac{\tilde\rho(\bm{q})}{|\bm{q}|^2},\qquad \tilde\rho(\bm{q})=\int\!\mathrm{d}^3x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{x}}\rho(\bm{x})\equiv Ze\,F(\bm{q}^2)$$

となる。$F(\bm{q}^2)$ を形状因子（form factor）と呼び、電荷分布の Fourier 変換を全電荷で規格化したものである。定義から $F(0)=1$ である。断面積は

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}\bigg|_{\rm Mott}\bigl|F(\bm{q}^2)\bigr|^2$$

と、点電荷の結果に $|F|^2$ を掛けた形になる。$|\bm{q}|$ が小さい（波長が核より長い）ときは$F\simeq1$ で点電荷と区別が付かない。$|\bm{q}|$ を上げると $F$ が1から下がり始め、その下がり方から電荷分布の広がりが読める。小 $|\bm{q}|$ での展開

$$F(\bm{q}^2)=1-\frac16\langle r^2\rangle|\bm{q}|^2+\cdots$$

の係数が電荷半径の2乗の期待値 $\langle r^2\rangle$ を与える。高エネルギー電子を原子核に当てて角度分布を測り、Mott の公式で割って $|F|^2$ を取り出す実験（Hofstadter らの電子散乱）によって、原子核の電荷分布が測られた。