ツリー図とループ図はどこが違うか

場の量子論入門　第6部 第1章 §6.1.1　★★ 独立なループ運動量が積分変数として残る、という一点に尽きる。

Feynman 図の各頂点では4元運動量が保存する。外線の運動量を与えたとき、この保存則で内線の運動量がすべて決まってしまう図をツリー図と呼び、決まらない図をループ図と呼ぶ。決まらない自由度の個数はループの本数 $L$ に等しく、内線の本数 $I$、頂点の個数 $V$ と

$$L = I - V + 1$$

で結ばれる（頂点ごとに1つの保存則があるが、そのうち1つは外線全体の運動量保存に使われて内線を決める役には立たないため、$V$ 個ではなく $V-1$ 個の条件しか内線に課されない）。残った $L$ 個の運動量は、Feynman 則に従ってすべての値にわたって積分される。1つのループごとに$\int\!\frac{\mathrm{d}^4 k}{(2\pi)^4}$ が付く。

$\phi^4$ 理論で、2つの粒子が2つの粒子へ散乱する過程の $\mathcal{O}(\lambda^2)$ の図を見る。中間状態に2本の内線が輪を作る図では、内線の運動量は $k$ と $k+p$（$p$ は入射2粒子の合計運動量）となり、$k$ が積分変数として残る。振幅への寄与は

$$\frac{1}{2}(-\mathrm{i}\lambda)^2\int\!\frac{\mathrm{d}^4 k}{(2\pi)^4}\, \frac{\mathrm{i}}{k^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm{i}}{(k+p)^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}\tag{6.1.2}$$

である（前の $1/2$ は第3部 第3章で導入した対称因子）。$|k|$ が大きい領域では被積分関数が $1/k^4$ のように振る舞い、測度が $\mathrm{d}^4k\sim k^3\,\mathrm{d} k$ で増えるので、積分は $\int^\infty \mathrm{d} k/k$ となって上端で対数的に発散する。

発散は「$k$ をいくらでも大きく取れる」ことから来ている。つまり、いくらでも短い距離での場の揺らぎを理論に含めたことの帰結である。この段階でただちに「理論が間違っている」と結論するのは早い。次節で、どの振幅がどれくらい強く発散するかを先に数える。