表面的発散次数の数え方

定義 （表面的発散次数）

ある Feynman 図のすべてのループ運動量を一斉に $\lambda$ 倍したとき、積分（測度と被積分関数の両方を含む）が全体として $\lambda^{D}$ のように振る舞うなら、$D$ をその図の表面的発散次数（superficial degree of divergence）と呼ぶ。

くりこみ可能性の判定

• すべての $[g_i]>0$：頂点を増やすほど $D$ が下がる。発散する図は有限個しかない（超くりこみ可能）。4次元の $\phi^3$ 理論がこれにあたる。
• すべての $[g_i]\ge0$ で、$0$ のものがある：$D$ は頂点の個数に依らない。発散する振幅の種類は外線の本数だけで決まるので有限種類だが、各種類は全次数で発散し続ける（くりこみ可能）。$\phi^4$ 理論と QED がこれにあたる。
• $[g_i]<0$ のものがある：頂点を増やすほど $D$ が上がる。十分高次に行けば任意の外線数の振幅が発散する（くりこみ可能でない）。Fermi の4フェルミオン相互作用（$[G_F]=-2$）と重力（$[G_N]=-2$）がこれにあたる。

例題 1.1（表面的発散次数を数える）

オリジナル$\phi^4$ 理論（4次元、$\mathcal{L}=\frac12(\partial_{\mu}\phi)^2-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4$）について、以下を求めよ。

• (1) 式 (6.1.2) の図（外線4本、ループ1本、内線2本）の $D$ を、$D=4L-2I_b-I_f$ から直接求めよ。
• (2) 外線が $E$ 本の任意の図の $D$ を式 (6.1.4) から求め、発散する振幅の種類を列挙せよ。
• (3) 同じ理論に $\frac{g}{6!}\phi^6$ という項を加えたとき、外線4本の振幅の $D$ が$\phi^6$ 頂点の個数 $V_6$ にどう依存するかを求めよ。

例題 1.2（結合定数の質量次元からくりこみ可能性を判定する）

オリジナル4次元時空で、次の各相互作用項の結合定数の質量次元を求め、その理論がくりこみ可能かどうかを判定せよ。場の質量次元は $[\phi]=1$、$[\psi]=3/2$、$[A_\mu]=1$、$[h_{\mu\nu}]=1$ を使ってよい。

• (1) 湯川結合 $-g\,\bar\psi \psi\phi$
• (2) QED の相互作用 $-e\,\bar\psi \gamma^\mu\psi A_\mu$
• (3) Fermi の4フェルミオン相互作用 $-G_F(\bar\psi \Gamma\psi)(\bar\psi \Gamma\psi)$
• (4) 重力の最低次の結合 $-\kappa\, h_{\mu\nu}T^{\mu\nu}$（$T^{\mu\nu}$ はエネルギー運動量テンソルで $[T^{\mu\nu}]=4$）