QED で発散する1ループ図は3種類だけである

場の量子論入門　第6部 第1章 §6.1.3　★★ 発散するのは電子自己エネルギー・真空偏極・頂点補正の3つ。第3章の3つのくりこみに対応する。

QED では $[e]=0$ なので、式 (6.1.4) は

$$D = 4 - E_\gamma - \tfrac{3}{2}E_e$$

となる。$D\ge0$ を満たす外線の組み合わせを数え上げると、$(E_\gamma,E_e)$ は$(0,2)$、$(2,0)$、$(1,2)$、$(1,0)$、$(3,0)$、$(4,0)$、$(0,0)$ に限られる。このうち外線が光子だけで奇数本のもの（$(1,0)$ と $(3,0)$）は Furry の定理で恒等的に消える（フェルミオンループの向きを反転させる操作が振幅に $(-1)^{n}$ を与えるため、$n$ が奇数なら自分自身の符号違いに等しくなり、ゼロになる）。$(4,0)$ の光子4本（光子光子散乱）は $D=0$ だが、ゲージ不変性が要求する $q$ の因子のために実際には有限になる。$(0,0)$ は真空図で、外線を持たないので観測量に寄与しない。

残るのが図 6.1.1 の3つである。

図 6.1.1　QED で発散する3つの1ループ図。(a) 電子自己エネルギー、(b) 真空偏極、(c) 頂点補正。それぞれ電子質量・電荷（と光子場）・電子場の規格化に対応する。

(a) 電子自己エネルギー $-\mathrm{i}\Sigma(p)$ は $E_\gamma=0,E_e=2$ で $D=1$、つまり表面的には1次発散である。ところが実際に計算すると、発散部分は $\not p$ と $m$ の1次式になり、$\Lambda$ に対しては対数的にしか増えない。理由は、$m=0$ のときに Lagrangian がカイラル対称性（$\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\gamma^5}\psi$）を持ち、質量項がその対称性を破る唯一の項だからである。$\Sigma$ に生じる質量ずれ $\delta m$ は $m$ 自身に比例せざるを得ず、$\delta m\propto m\ln\Lambda$ となる。

(b) 真空偏極 $\mathrm{i}\Pi^{\mu\nu}(q)$ は $E_\gamma=2$ で $D=2$、表面的には2次発散である。2次発散する項は $\Lambda^2\eta^{\mu\nu}$ の形をしていて、これは光子に質量を与える項に他ならない。しかしゲージ不変性は光子質量を禁じており、実際に Ward 恒等式 $q_\mu\Pi^{\mu\nu}=0$ が成り立つので、$\Pi^{\mu\nu}$ は

$$\Pi^{\mu\nu}(q) = (q^2\eta^{\mu\nu}-q^\mu q^\nu)\,\Pi(q^2)\tag{6.1.6}$$

という形に限られる。$q^2$ を2つ外に括り出した分だけ発散が弱まり、$\Pi(q^2)$ は対数発散にとどまる。ここでゲージ不変性を壊す正則化を使うと、偽の光子質量項が現れて計算を台無しにする。第2章で次元正則化を採用する理由の一つがこれである。

(c) 頂点補正 $-\mathrm{i} e\Lambda^\mu(p',p)$ は $E_\gamma=1,E_e=2$ で $D=0$、対数発散である。発散するのは $\gamma^\mu$ に比例する部分だけで、$\sigma^{\mu\nu}q_\nu$ に比例する部分は有限である。後者が電子の異常磁気モーメントを与える（第5章）。

3つの発散はそれぞれ、電子質量・電荷（および光子場の規格化）・電子場の規格化という3つの量に吸収される。QED のパラメータは $m$ と $e$ の2つしかないので、「発散の種類の個数」と「調整できるパラメータの個数」が釣り合っている。これがくりこみ可能性の実質的な内容である。