スカラー場の自己エネルギーの構造

被積分関数が $k_E$ の向きに依らないので、角度積分は立体角 $2\pi^2$ を与える。

$$I(\Lambda) = \frac{2\pi^2}{(2\pi)^4}\int_0^\Lambda \mathrm{d} k\,\frac{k^3}{(k^2+m^2)^2} = \frac{1}{8\pi^2}\int_0^\Lambda \mathrm{d} k\,\frac{k^3}{(k^2+m^2)^2}.$$

$u=k^2$ と置くと $k^3\mathrm{d} k=\frac12 u\,\mathrm{d} u$ なので

$$I(\Lambda) = \frac{1}{16\pi^2}\int_0^{\Lambda^2}\mathrm{d} u\,\frac{u}{(u+m^2)^2}.$$

分子を $u=(u+m^2)-m^2$ と分けると

$$\int_0^{\Lambda^2}\!\mathrm{d} u\left[\frac{1}{u+m^2}-\frac{m^2}{(u+m^2)^2}\right] = \ln\!\frac{\Lambda^2+m^2}{m^2} + \frac{m^2}{\Lambda^2+m^2} - 1 .$$

したがって

$$I(\Lambda) = \frac{1}{16\pi^2}\left[\ln\!\left(\frac{\Lambda^2}{m^2}+1\right) + \frac{m^2}{\Lambda^2+m^2} - 1\right] \;\xrightarrow[\ \Lambda\gg m\ ]{}\; \frac{1}{16\pi^2}\left[\ln\frac{\Lambda^2}{m^2}-1\right].$$

$\Lambda$ の増加に対して対数的にしか増えないこと、係数が $1/16\pi^2$ であること（4次元の1ループ計算に必ず現れる因子）、そして定数 $-1$ が付くことの3点を押さえておく。最後の定数はカットオフの入れ方に依存し、第2章の次元正則化では別の定数に変わる。物理量に残らないのはこの定数の方であって、$\ln$ の係数ではない。

数値照合は 検算スクリプト の「カットオフ正則化: 対数発散の閉形式」で行っている。